Прнятие системы числения (СЧ)
СЧ - символический метод записи чисел, т.е. совокупность символов (цифр и знаков) записи числа и правил определения количества по записи.
Существуют позиционная и непозионная СЧ.
В позиционной СЧ вес цифры зависит от ее положения в записи. Например, арабская десятичная СЧ.
В непозиционной СЧ вес цифры не зависит от ее позиции в записи. Например – римская СЧ.
В качестве цифр в этой СЧ используются буквы:
I – 1; V – 5; X – 10; L – 50; C – 100; D – 500; M – 1000.
Допускается повторение не более 3-х раз. Если меньшее число слева от большего, то оно отнимается. Если справа – прибавляется. Максимальное число, которое можно записать 3999. Для записи тисяч над буквами ставиться 1 черта, миллионов – 2 черты. Система неудобная и не подходит для комп-ов. Поэтому в комп-ах используется позиционная СЧ.
Представление чисел в позиционной СЧ.
Числа бывают беззнаковые – всегда положительные, и знаковые – как положительные так и отрицательные (которые вычитаются при добавлении).
Для отделения целой и дробной части натуральных чисел используют запятую (точку). Если дробная часть отсутствует, то число целое и запятая справа от последней цифры целой части. Если целая часть отсутствует (ноль), то число дробное и запятая слева от первой цифры (если ноль не указан). В зависимости от формата записи числа бывают натуральные с фиксированной точкой (запятой), или вещественные с плавающей точкой, которые состоят из двух чисел – натуральной мантиссы и целого порядка со знаком.
Основание системы счисления q – количество цифр, используемое для записи чисел.
В вычислительной технике основной является двоичная СЧ, но при программировании используется десятичная, восьмеричная и 16-ричная СЧ. Последние позволяют сократить записи двоичных кодов с возможностью легкого преобразования из одной СЧ в другую.
Параметры СЧ
Сч | Цифры | q | Знаки |
Десятичная | 0, 1, 2,…, 9 | , (.), +, - | |
Двоичная | 0, 1 | ||
Восьмиричная | 0, 1, 2, …, 7 | ||
Шестнадцатиричная | 0, 1, 2,…, 9, А, В, С, D, E, F |
Таблица чисел
10-я | Двоичная | 8-я | 16-я |
A | |||
B | |||
C | |||
D | |||
E | |||
F |
Общая форма записи числа с фиксированной точкой из m-цифр в целой части и l – цифр дробной части
± am-1 am-2 ….. a1 a0 , a-1 a-2 ….. a-(f-1) a-f.
Общее количество цифр в записи n = m + f. Плюс знак, если есть. Незначащуе нули в начале записи приводить обычно не принято.
Полиноминальное представление числа с фиксированной точкой
Aq = ± (am-1 q m-1+am-2 q m-2 … +a1 q 1+a0 q 0+
+a-1 q-1+ a-2 q-2…+ a-(f-1)q-(f-1)+ a-f q-1). (1)
Другая форма записи
Aq =. (2)
Варианты представления
Aq = ± (((…(am-1 q+am-2 )q … +a1) q +a0) +
+ q-1(a-1 + q-1( a-2 +…+ q-1(a-(f-1) + q-1a-f)…))). (3)
Aq = ± (am-1 q m-1+am-2 q m-2 … +a1 q 1+a0 q 0+
+ q-f( a-1 qf-1+ a-2 qf-2…+ a-(f-2)q2 + a-(f-1)q+ a-f)). (4)
Формы (1)…(4) используются для перевода недесятичных чисел в десятичные.
Варианты перевода чисел четырех СЧ
№ | Вариант | Правила |
10-е в 2-е | Деления – для целых. Умножения – для дробных. | |
10-е в 8-е | Деления – для целых. Умножения – для дробных. | |
10-е в 16-е | Деления– для целых. Умножения – для дробных.. Табличная замена чисел. | |
2-е в 10-е | Полиноминальное представление. | |
2-е в 8-е | Правило триад. | |
2-е в 16-е | Правило тетрад. | |
8-е в 10-е | Полиноминальное представление. | |
8-е в 2-е | Табличная замена цифр. | |
8-е в 16-е | 8-е в 2-е(табличная замена цифр). Затем 2-е в 16-е (правило триад). | |
16-е в 10-е | Табличная замена цифр. Полиноминальное представление. | |
16-е в 2-е | Табличная замена цифр. | |
16-е в 8-е | 16-е в 2-е (табличная замена цифр). Затем 2-е в 8-е (правило триад). |