Представление вещественных чисел в формате с плавающей запятой

 

Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами. Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа А в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p, которую называют порядком:

А=m x q^p

Например, число 139,76 можно записать в виде: 0,13976х10³. Здесь m=0,13976 – мантисса, p=3 – порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства:

139,76=13,976х10¹ = 1,3976х10² = 0,013976х10⁴ = 13976 х10^-2

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:

0.1_q £m< 1_q ,

то есть мантисса меньше единицы и первая значащая цифра - не ноль. Следовательно, для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0,13976х10³.

В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных.

Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (q=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

± маш. порядок

М А Н

Т И С

С А

 

1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт

 

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 – минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

 

Машинный порядок					…			…
Математический порядок	-64	-63	-62	-61	…			…

Если обозначить машинный порядок М_q, а математический q, то связь между ними выразится формулой:

М_{q =} q + 64

Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. Полученная формула записана в десятичной системе счисления. В двоичной системе счисления формула имеет вид:

М_{q =} q + 1000000₂

 

При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

1) Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;

2) Записать полученное двоичное число в нормализованном виде;

3) Определить машинный порядок с учетом смещения;

4) Учитывая знак заданного числа (0 – положительное; 1 – отрицательное), записать его представление в памяти ЭВМ.

 

Например, запишем внутреннее представление числа 139,76 в форме с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке:

1) Переведем десятичное 139,76 и запишем его 24-значащими цифрами:

139,76₁₀ = 10001011,1100001010001111₂

 

2) Запишем полученное двоичное число в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

10001011,1100001010001111₂ = 0,100010111100001010001111₂ х10¹⁰⁰⁰,

где 0,100010111100001010001111₂ – мантисса;

10 – основание системы счисления (2₁₀=10₂);

1000 – порядок (8₁₀=1000₂).

 

3) Определим машинный порядок:

Mq₂ = 1000 + 1000000 = 1001000

4) Запишем представление числа в ячейке памяти:

 

Для того чтобы получить внутренне представление отрицательного числа -139,76₁₀ достаточно в полученном выше представлении заменить в разряде знака числа 0 на 1. Никакого инвертирования, как для отрицательных целых чисел, здесь не происходит.