Выполнение операций над числами, представленными с плавающей точкой (говорят- в плавающей арифметике).

Пусть X = M_x×2^Px ,а Y = M_y×2^Py

a)Сложение (вычитание) чисел:

Z = X ± Y = M_x×2^Px ± M_y×2^Py ={1шаг–выравнивание порядков к большему; пусть Px >Py}

= 2^Px×(M_x ± M_y×2^Py–Px) = {2 шаг–сдвиг мантиссы M_y на |P_y–P_x| разрядов}

= 2^Px×m_z = {3шаг–сложение(вычитание) мантисс, получается мантисса m_z}.

= M_z ×E^Pz

Возможны случаи:

· 1 £ |m_z| < 2Þ операция закончена, M_z = m_z ; P_z = P_x ;

· 2 £ |m_z| Þ выполняется нормализация результата сдвигом мантиссы вправо на 1 разряд с коррекцией порядка (+1);

· |m_z| <1 Þ выполняется нормализация результата сдвигом мантиссы влево на t разрядов с коррекцией порядка (–t).

з p_х 1.ххххх

– з p_y 1.xxyyy

з p_х 0.00zzz При вычитании близких чисел происходит

з p_z 1.zz??? потеря точности

б)Умножение :

Z = X × Y = M_x×2^Px × M_y×2^Py = M_x×M_y×2^Px+Py == M_z ×2^Pz , где M_z = M_x×M_y ; P_z = P_x+P_y; т.е. при умножении чисел их мантиссы перемножаются, а порядки складываются. При умножении двух мантисс может получиться результат такой, что потребуется сдвиг мантиссы вправо, но не более, чем на один разряд, тогда нужна коррекция порядка (+1).

в)Деление :

т.е. при делении чисел их мантиссы делятся, а порядки вычитаются. При делении двух мантисс может потребоваться для полученной мантиссы сдвиг влево, но не более, чем на один разряд с коррекцией порядка (–1).

Особые ситуации плавающей арифметики.

1. Переполнение порядка при выполнении операций плавающей арифметики;

2. некорректность деления в плавающей арифметике: деление на число с нулевой мантиссой;

3. потеря значимости: P_z ¹0, а M_z = 0;

4. исчезновение порядка: P_z < P_min , а M_z ¹ 0.

Две последние ситуации не являются аварийными, они обычно приводят к тому, что результат Z заменяется нулём – это машинный нуль.