рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Формула умножения вероятностей.

Формула умножения вероятностей. - Конспект Лекций, раздел Информатика, КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Пусть Даны Два События ...

Пусть даны два события и . Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие появилось после появления события . Если , то событие называется независимым от события . В противном случае событие называется зависимым от события . Величина называется условной вероятностью события при появлении события .

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого события.

Доказательство: Рассмотрим схему случаев

Вычисляя вероятности по этой схеме, получаем

,

 

таким образом

(1.8.1)

 

Что и требовалось доказать.

Совершенно аналогично доказывается вторая формула

(1.8.2)

 

Следствие: Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство: Дано – независимость события от события , по формуле умножения вероятностей имеем – , отсюда следует, что , то есть событие не зависит от события . Что и требовалось доказать.

Для двух независимых событий имеет место формула

(1.8.3)

Для нескольких независимых событий имеет место аналогичная формула

(1.8.4)

Рассмотрим примеры на применение теоремы сложения и умножения вероятностей.

Пример 1.8.1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Обозначим: – появление двух белых шаров. Событие представляет собой произведение двух событий: , где – появление белого шара при первом вынимании, – появление белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей

Пример 1.8.2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.

Решение: В данном случае события независимы и

Пример 1.8.3. Прибор, работающий в течение времени , состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время надежность (вероятность безотказной работы) первого узла равна 0,8; второго 0,9; третьего 0,7. Найти надежность прибора в целом.

Решение. Обозначим:

– безотказная работа прибора, – безотказная работа первого узла, – безотказная работа второго узла, – безотказная работа третьего узла.

По теореме умножения для независимых событий имеем:

Пример 1.8.4. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 0,4 ; 0,5 ; 0,7 . Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет ровно одна пробоина ( хотя бы одна пробоина).

Решение. 1) Рассмотрим событие

 

 

где – попадание при первом, втором, третьем выстрелах, – промах при первом, втором, третьем выстрелах. Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и пользуясь свойством противоположных событий, находим .

2) Рассмотрим событие – хотя бы одно попадание в мишень. – ни одного попадания в мишень. Очевидно, . По теореме умножения , откуда .

Пример 1.8.5. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что выпадет больше гербов, чем цифр.

Решение. Для нахождения вероятности интересующего нас события (выпадет больше гербов, чем цифр) можно было бы перечислить все возможные его варианты, например, выпадет шесть гербов и ни одной цифры, выпадет пять гербов и одна цифра и т. д.

Однако проще будет применить другой прием. Перечислим все возможные исходы опыта: – выпадет больше гербов, чем цифр, – выпадет больше цифр, чем гербов, – выпадет одинаковое число цифр и гербов. События несовместны и образуют полную группу. Следовательно, . Так как задача симметрична относительно «герба» и «цифры», то , откуда

Найдем вероятность события С, состоящего в том, что при шести бросаниях монеты появится ровно три герба (а значит, ровно три цифры). Вероятность любого из вариантов события (например, последовательность – г, ц, г, г, ц, ц) при шести бросаниях одна и та же и равна . Число таких комбинаций равно числу сочетаний трех из шести . Следовательно,

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ... КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ... ПО МАТЕМАТИКЕ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула умножения вероятностей.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных массовых явлений. Случайным называется явление, которо

Статистическое определение вероятности.
Событием называется случайное явление, которое в результате опыта может появится или не появится (двузначное явление). Обозначают события большими латинскими буквами

Пространство элементарных событий.
Пусть с некоторым опытом связано множество событий , причем: 1) в результате опыта появляется одно и только одно

Действия на событиями.
Суммой двух событий и

Перестановки.
Число различных перестановок из элементов обозначается

Размещения.
Размещением из элементов по

Сочетания.
Сочетанием из элементов по

Формула сложения вероятностей для несовместных событий.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. (1

Формула сложения вероятностей для произвольных событий.
Теорема. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

Формула полной вероятности.
Пусть – полная группа несовместных событий, их называют гипотезами. Рассмотрим некоторое событие

Формула вероятностей гипотез (Байеса).
Рассмотрим снова – полную группу несовместных гипотез и событие

Асимптотическая формула Пуассона.
В тех случаях, когда число испытаний велико , а вероятность появления события

Случайные дискретные величины.
Случайной называется величина, которая при повторении опыта может принимать неодинаковые числовые значения. Случайная величина называется дискретной,

Случайные непрерывные величины.
Если в результате опыта случайная величина может принимать любое значение из некоторого отрезка или всей действительной оси, то она называется непрерывной. Законо

Функция плотности вероятности случайной непрерывной величины.
Пусть . Рассмотрим точку и дадим ей приращени

Числовые характеристики случайных величин.
Случайная дискретная или непрерывная величины считаются полностью заданными, если известны их законы распределения. В самом деле, зная законы распределения можно всегда вычислить вероятность попада

Квантили случайных величин.
Квантилем порядка случайной непрерывной величины

Математическое ожидание случайных величин.
Математическое ожидание случайной величины характеризует ее среднее значение. Все значения случайной величины группируются вокруг этого значения. Рассмотрим сначала случайную дискретную величину

Среднеквадратичное отклонение и дисперсия случайных величин.
Рассмотрим сначала случайную дискретную величину . Числовые характеристики мода, медиана, квантили и математическое ожида

Моменты случайных величин.
Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей используются числовые характеристики более высоких порядков, которые называются моментами случайных величин.

Теоремы о числовых характеристиках случайных величин.
Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине. Доказательство:Пусть

Биномиальный закон распределения.
Пусть случайная дискретная величина, принимающая значения

Закон распределения Пуассона.
Пусть случайная дискретная величина, принимающая значения

Равномерный закон распределения.
Равномерным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотности вероятности, которого

Нормальный закон распределения.
Нормальным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотност

Экспоненциальный закон распределения.
Экспоненциальное или показательное распределение случайной величины применяется в таких приложениях теории вероятностей, как теория массового обслуживания, теория надежности

Системы случайных величин.
На практике в приложениях теории вероятностей часто приходиться сталкиваться с задачами, в которых результаты эксперимента описываются не одной случайной величиной, а сразу несколькими случайными в

Система двух случайных дискретных величин.
Пусть две случайные дискретные величины образуют систему. Случайная величина

Система двух случайных непрерывных величин.
Пусть теперь систему образуют две случайные непрерывные величины . Законом распределения этой системы называется вероятно

Условные законы распределения.
Пусть и зависимые случайные непрерывные велич

Числовые характеристики системы двух случайных величин.
Начальным моментом порядка системы случайных величин

Система нескольких случайных величин.
Полученные результаты для системы их двух случайных величии могут быть обобщены на случай систем, состоящих из произвольного числа случайных величин. Пусть система образована совокупностью

Нормальный закон распределения системы двух случайных величин.
Рассмотрим систему двух случайных непрерывных величин . Законом распределения этой системы является нормальный закон расп

Предельные теоремы теории вероятностей.
Основной целью дисциплины теория вероятностей является изучение закономерностей случайных массовых явлений. Практика показывает, что наблюдение массы однородных случайных явлений обнаружив

Неравенство Чебышева.
Рассмотрим случайную величину с математическим ожиданием

Теорема Чебышева.
Если случайные величины попарно независимы и имеют конечные ограниченные в совокупности дисперсии

Теорема Бернулли.
При неограниченном увеличении числа опытов частота появления события сходится по вероятности к вероятности события

Центральная предельная теорема.
При сложении случайных величин с любыми законами распределения, но с ограниченными в совокупности дисперсиями, закон расп

Основные задачи математической статистики.
Рассмотренные выше законы теории вероятностей представляют собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в различных случайных массовых явлениях. Изучая

Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения.
Рассмотрим некоторую случайную величину , закон распределения которой неизвестен. Требуется на основании опытных данных о

Статистический ряд. Гистограмма.
При большом числе наблюдений (порядка сотен) генеральная совокупность становится неудобной и громоздкой для записи статистического материала. Для наглядности и компактности статистический материал

Числовые характеристики статистического распределения.
В теории вероятностей рассматривались различные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты различных порядков. Аналогичные числов

Выбор теоретического распределения по методу моментов.
Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с ограниченностью числа наблюдений. При большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются,

Проверка правдоподобия гипотезы о виде закона распределения.
Пусть заданное статистическое распределение аппроксимировано некоторой теоретической кривой или

Критерии согласия.
Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия – так называемый критерий Пирсона . Предположи

Точечные оценки для неизвестных параметров распределения.
В п.п. 2.1. – 2.7 мы подробно рассмотрели способы решения первой и второй основных задач математической статистики. Это задачи определения законов распределения случайных величин по опытным данным

Оценки для математического ожидания и дисперсии.
Пусть над случайной величиной с неизвестными математическим ожиданием

Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
На практике при малом числе опытов над случайной величиной приближенная замена неизвестного параметра

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги