Среднеквадратичное отклонение и дисперсия случайных величин.

Все темы данного раздела:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных массовых явлений. Случайным называется явление, которо

Статистическое определение вероятности.
Событием называется случайное явление, которое в результате опыта может появится или не появится (двузначное явление). Обозначают события большими латинскими буквами

Пространство элементарных событий.
Пусть с некоторым опытом связано множество событий , причем: 1) в результате опыта появляется одно и только одно

Действия на событиями.
Суммой двух событий и

Перестановки.
Число различных перестановок из элементов обозначается

Размещения.
Размещением из элементов по

Сочетания.
Сочетанием из элементов по

Формула сложения вероятностей для несовместных событий.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. (1

Формула сложения вероятностей для произвольных событий.
Теорема. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

Формула умножения вероятностей.
Пусть даны два события и . Рассмотрим событие

Формула полной вероятности.
Пусть – полная группа несовместных событий, их называют гипотезами. Рассмотрим некоторое событие

Формула вероятностей гипотез (Байеса).
Рассмотрим снова – полную группу несовместных гипотез и событие

Асимптотическая формула Пуассона.
В тех случаях, когда число испытаний велико , а вероятность появления события

Случайные дискретные величины.
Случайной называется величина, которая при повторении опыта может принимать неодинаковые числовые значения. Случайная величина называется дискретной,

Случайные непрерывные величины.
Если в результате опыта случайная величина может принимать любое значение из некоторого отрезка или всей действительной оси, то она называется непрерывной. Законо

Функция плотности вероятности случайной непрерывной величины.
Пусть . Рассмотрим точку и дадим ей приращени

Числовые характеристики случайных величин.
Случайная дискретная или непрерывная величины считаются полностью заданными, если известны их законы распределения. В самом деле, зная законы распределения можно всегда вычислить вероятность попада

Квантили случайных величин.
Квантилем порядка случайной непрерывной величины

Математическое ожидание случайных величин.
Математическое ожидание случайной величины характеризует ее среднее значение. Все значения случайной величины группируются вокруг этого значения. Рассмотрим сначала случайную дискретную величину

Моменты случайных величин.
Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей используются числовые характеристики более высоких порядков, которые называются моментами случайных величин.

Теоремы о числовых характеристиках случайных величин.
Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине. Доказательство:Пусть

Биномиальный закон распределения.
Пусть случайная дискретная величина, принимающая значения

Закон распределения Пуассона.
Пусть случайная дискретная величина, принимающая значения

Равномерный закон распределения.
Равномерным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотности вероятности, которого

Нормальный закон распределения.
Нормальным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотност

Экспоненциальный закон распределения.
Экспоненциальное или показательное распределение случайной величины применяется в таких приложениях теории вероятностей, как теория массового обслуживания, теория надежности

Системы случайных величин.
На практике в приложениях теории вероятностей часто приходиться сталкиваться с задачами, в которых результаты эксперимента описываются не одной случайной величиной, а сразу несколькими случайными в

Система двух случайных дискретных величин.
Пусть две случайные дискретные величины образуют систему. Случайная величина

Система двух случайных непрерывных величин.
Пусть теперь систему образуют две случайные непрерывные величины . Законом распределения этой системы называется вероятно

Условные законы распределения.
Пусть и зависимые случайные непрерывные велич

Числовые характеристики системы двух случайных величин.
Начальным моментом порядка системы случайных величин

Система нескольких случайных величин.
Полученные результаты для системы их двух случайных величии могут быть обобщены на случай систем, состоящих из произвольного числа случайных величин. Пусть система образована совокупностью

Нормальный закон распределения системы двух случайных величин.
Рассмотрим систему двух случайных непрерывных величин . Законом распределения этой системы является нормальный закон расп

Предельные теоремы теории вероятностей.
Основной целью дисциплины теория вероятностей является изучение закономерностей случайных массовых явлений. Практика показывает, что наблюдение массы однородных случайных явлений обнаружив

Неравенство Чебышева.
Рассмотрим случайную величину с математическим ожиданием

Теорема Чебышева.
Если случайные величины попарно независимы и имеют конечные ограниченные в совокупности дисперсии

Теорема Бернулли.
При неограниченном увеличении числа опытов частота появления события сходится по вероятности к вероятности события

Центральная предельная теорема.
При сложении случайных величин с любыми законами распределения, но с ограниченными в совокупности дисперсиями, закон расп

Основные задачи математической статистики.
Рассмотренные выше законы теории вероятностей представляют собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в различных случайных массовых явлениях. Изучая

Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения.
Рассмотрим некоторую случайную величину , закон распределения которой неизвестен. Требуется на основании опытных данных о

Статистический ряд. Гистограмма.
При большом числе наблюдений (порядка сотен) генеральная совокупность становится неудобной и громоздкой для записи статистического материала. Для наглядности и компактности статистический материал

Числовые характеристики статистического распределения.
В теории вероятностей рассматривались различные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты различных порядков. Аналогичные числов

Выбор теоретического распределения по методу моментов.
Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с ограниченностью числа наблюдений. При большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются,

Проверка правдоподобия гипотезы о виде закона распределения.
Пусть заданное статистическое распределение аппроксимировано некоторой теоретической кривой или

Критерии согласия.
Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия – так называемый критерий Пирсона . Предположи

Точечные оценки для неизвестных параметров распределения.
В п.п. 2.1. – 2.7 мы подробно рассмотрели способы решения первой и второй основных задач математической статистики. Это задачи определения законов распределения случайных величин по опытным данным

Оценки для математического ожидания и дисперсии.
Пусть над случайной величиной с неизвестными математическим ожиданием

Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
На практике при малом числе опытов над случайной величиной приближенная замена неизвестного параметра