Экспоненциальный закон распределения. - Конспект Лекций, раздел Информатика, КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Экспоненциальное Или Показательное Распределение Случ...
Экспоненциальное или показательное распределение случайной величины применяется в таких приложениях теории вероятностей, как теория массового обслуживания, теория надежности и т.д.
Построим закон такого распределения в рамках теории надежности. Пусть некоторое устройство может отказать (выйти из строя) за время некоторое число раз – . Коэффициент называется интенсивностью отказов (среднее число событий, происходящих в единицу времени). Очевидно, что вероятность того, что за время произойдет событий, определяется формулой Пуассона (1.11.13)
.
В частном случае, если за время не произойдет ни одного события (устройство не выйдет из строя), то вероятность такого события будет равна
. (1.17.10)
Введем случайную величину – время безотказной работы. Тогда вероятность безотказной работы от момента эксплуатации устройства равна
. (1.17.11)
Функция называется функцией надежности устройства.
Закон распределения случайной величины задается формулой
. (1.17.12)
Функция плотности вероятности для случайной величины вычисляется по формуле
. (1.17.13)
Закон распределения случайной величины с плотностью вероятности (1.17.13) и есть экспоненциальный или показательный закон распределения.
Отметим основные числовые характеристики этого закона.
1. Площадь криволинейной трапеции
.
2. Математическое ожидание
.
3. Дисперсия
.
4. Среднеквадратичное отклонение
.
5. Коэффициент асимметрии
.
6. Эксцесс
.
Рассмотрим важное свойство экспоненциального закона распределения. Предположим, что на отрезке времени не было отказа устройства. Вычислим вероятность отказа этого устройства на промежутке времени . Обозначим события . Вероятности этих событий определяются по формуле (1.17.11)
.
В этих обозначениях вероятность отказа устройства на промежутке времени есть условная вероятность события . Для ее нахождения отметим, что произведение событий и имеет вид и
.
С другой стороны, применяя формулу вероятности произведения событий (1.8.1), получаем
.
Сравнивая полученные формулы, находим
.
Эта формула показывает, что вероятность безотказной работы за предстоящее время не зависит оттого, насколько долго проработало это устройство. Это означает, что устройство при работе не стареет, отказывает внезапно по схеме внезапных повреждений.
1.17.6. Гамма – распределение.
Альтернативой внезапным (мгновенным) повреждениям служат накапливающиеся повреждения, постепенно приводящие к отказу. К таким отказам можно отнести износы шин, подшипников, кинескопов, обуви и т.д.
Износ некоторого устройства можно моделировать монотонно возрастающей функцией , которая описывает процесс накопления повреждений во время эксплуатации. При достижении некоторого порога, некоторого события , происходит отказ всего устройства. Снова введем случайную величину – время безотказной работы.
Будем считать, что
1. Средняя скорость износа (накопления элементарных повреждений) постоянна – в единицу времени в среднем будет повреждений.
2. Количество элементарных повреждений за время подчиняется закону Пуассона с параметром .
3. При накоплении элементарных повреждений наступает отказ работы устройства.
Таким образом, накопление повреждений происходит случайными скачками на величину . Износ наступает при .
Вероятность иметь элементарных повреждений за время находится по формуле Пуассона (1.11.13)
.
Вероятность безотказной работы за время – , равна вероятности того, что элементарных повреждений будет меньше
.
Функция распределения такого закона принимает вид
.
Находим функцию плотности вероятности
.
В первой сумме отбросим нулевое слагаемое, а во второй сумме заменим индекс
.
Таким образом, плотность вероятности закона распределения выражается формулой
. (1.17.14)
Формулу (1.17.14) можно обобщить на случай любых действительных значений . Для этого можно использовать специальную гамма функцию
.
Известно, что при натуральных аргументах гамма функция выражает значения факториала
Таким образом, гамма распределение функция плотности вероятности имеет вид
. (1.17.15)
Отметим основные числовые характеристики гамма распределения.
1. Математическое ожидание
.
3. Дисперсия
.
4. Среднеквадратичное отклонение
.
5. Коэффициент асимметрии
.
6. Эксцесс
.
Очевидно, что при . Можно показать, что в пределе получится нормальное распределение.
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ... КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ... ПО МАТЕМАТИКЕ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Экспоненциальный закон распределения.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных массовых явлений.
Случайным называется явление, которо
Статистическое определение вероятности.
Событием называется случайное явление, которое в результате опыта может появится или не появится (двузначное явление). Обозначают события большими латинскими буквами
Пространство элементарных событий.
Пусть с некоторым опытом связано множество событий , причем:
1) в результате опыта появляется одно и только одно
Случайные дискретные величины.
Случайной называется величина, которая при повторении опыта может принимать неодинаковые числовые значения. Случайная величина называется дискретной,
Случайные непрерывные величины.
Если в результате опыта случайная величина может принимать любое значение из некоторого отрезка или всей действительной оси, то она называется непрерывной. Законо
Числовые характеристики случайных величин.
Случайная дискретная или непрерывная величины считаются полностью заданными, если известны их законы распределения. В самом деле, зная законы распределения можно всегда вычислить вероятность попада
Математическое ожидание случайных величин.
Математическое ожидание случайной величины характеризует ее среднее значение. Все значения случайной величины группируются вокруг этого значения. Рассмотрим сначала случайную дискретную величину
Моменты случайных величин.
Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей используются числовые характеристики более высоких порядков, которые называются моментами случайных величин.
Равномерный закон распределения.
Равномерным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотности вероятности, которого
Нормальный закон распределения.
Нормальным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотност
Системы случайных величин.
На практике в приложениях теории вероятностей часто приходиться сталкиваться с задачами, в которых результаты эксперимента описываются не одной случайной величиной, а сразу несколькими случайными в
Система нескольких случайных величин.
Полученные результаты для системы их двух случайных величии могут быть обобщены на случай систем, состоящих из произвольного числа случайных величин.
Пусть система образована совокупностью
Предельные теоремы теории вероятностей.
Основной целью дисциплины теория вероятностей является изучение закономерностей случайных массовых явлений.
Практика показывает, что наблюдение массы однородных случайных явлений обнаружив
Теорема Чебышева.
Если случайные величины попарно независимы и имеют конечные ограниченные в совокупности дисперсии
Теорема Бернулли.
При неограниченном увеличении числа опытов частота появления события сходится по вероятности к вероятности события
Центральная предельная теорема.
При сложении случайных величин с любыми законами распределения, но с ограниченными в совокупности дисперсиями, закон расп
Основные задачи математической статистики.
Рассмотренные выше законы теории вероятностей представляют собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в различных случайных массовых явлениях.
Изучая
Статистический ряд. Гистограмма.
При большом числе наблюдений (порядка сотен) генеральная совокупность становится неудобной и громоздкой для записи статистического материала. Для наглядности и компактности статистический материал
Числовые характеристики статистического распределения.
В теории вероятностей рассматривались различные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты различных порядков. Аналогичные числов
Выбор теоретического распределения по методу моментов.
Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с ограниченностью числа наблюдений. При большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются,
Критерии согласия.
Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия – так называемый критерий Пирсона .
Предположи
Точечные оценки для неизвестных параметров распределения.
В п.п. 2.1. – 2.7 мы подробно рассмотрели способы решения первой и второй основных задач математической статистики. Это задачи определения законов распределения случайных величин по опытным данным
Новости и инфо для студентов