Всякий непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, период изменения которого равен ¥. В связи с этим спектральный анализ периодических процессов может быть обобщен и на непериодический сигнал.
Рисунок 4.3 - Непериодический сигнал
Любой физически реализуемый сигнал с конечной энергией обязательно ограничен во времени, или, иными словами, функция, изображающая такой сигнал, абсолютно интегрируема. В связи с этим непериодический сигнал может быть выражен модифицированной формулой периодического сигнала.
Модификация заключается в приравнивании периода колебаний Т бесконечности и следующих из этого математических преобразований. Подставляя в комплексную форму ряда Фурье функции выражение комплексной амплитуды , получим:
,
где
Для непериодической функции , следовательно, частотный интервал между соседними гармониками . В этом выражении деление на бесконечно большой период Т может быть заменено умножением на бесконечно малое приращение частоты , что в свою очередь, превращает процесс суммирования в интегрирование, а произведение в текущую частоту
то есть:
(2.3) |
Это выражение известно как двойной интеграл Фурье, а величина
(2.4) |
называется прямым преобразованием Фурье функции . Эта величина характеризует спектральный состав непериодической функции и может быть названа спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции .
Выражение
(2.5) |
представляющее зависимость непериодической функции от её спектральной характеристики, называется обратным преобразованием Фурье.
Здесь:
- спектральная плотность;
- амплитудно-частотная характеристика сигнала;
- фазо-частотная характеристика сигнала .
Представление непериодической функции интегралом Фурье возможно при выполнении следующих условий:
функция удовлетворяет условиям Дирихле
функция абсолютно интегрируема, т.е.
(2.6) |
(этим условиям удовлетворяет практически любой реальный сигнал).
Огибающая спектра (модуль спектральной плотности) непериодической функции (сигнала) имеет непрерывный характер.
Т.е. спектр непериодического сигнала в отличие от спектра периодического сигнала является сплошным. Спектральная плотность однозначно отображает непериодический сигнал и удовлетворяет условиям:
;
Модуль спектральной плотности является четной, а аргумент – нечетной функцией частоты, т.е.
, | (2.7) |
Пример
Рассмотрим спектр периодического сигнала на примере амплитудно-модулированного гармонического сигнала.
(2.8) |
При амплитудной модуляции амплитуда изменяется по определенному закону:
(2.9) |
где А0 – постоянная составляющая амплитуду,
dА – наибольшее изменение амплитуды при модуляции,
f(t) – нормированная функция (изменяется в пределах от –1 до +1)
Так как модулируемый параметр сигнала (в данном случае амплитуда) является непосредственным переносчиком, то функция f(t) выражает закон изменения во времени передаваемого сообщения. Амплитудно-модулированный гармонический сигнал как функция времени в общем случае имеет вид:
(2.10) |
где - глубина амплитудной модуляции.
Рассмотрим частный случай, когда функция f(t) изменяется по гармоническому закону
Рисунок 4.4 График изменения функции f(t)
, причем
Тогда выражение (
(2.10) |
) примет вид
(2.11) |
Рисунок 4.5 Спектр сигнала
То есть спектр сигнала, изображенного на рисунке, состоит из трех гармонических составляющих: несущей с частотой и двух боковых:
нижней с частотой
верхней с частотой .
Ширина спектра сигнала .
Как мы видим, в данном случае для нахождения частотной модели не потребовалось использование аппарата Фурье, поскольку другой путь поиска амплитудно-частотной характеристики напрашивается сам по себе и он довольно простой и быстрый.