Системы счисления

Под системой счисления понимается способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов (цифр), имеющих определенное количе­ственное значение. Системы счисления делятся на не­позиционные и позиционные.

В непозиционных системах количественное зна­чение символа определяется только его изображением и не зависит от его места (позиции) в числе. Напри­мер, в известной римской системе, использующей на­бор символов I, V, X, L, С, D,..., десятичное число 38 представляется XXXVIII =10+10+10+5+1+1+1.

Количественное значение числа определяется сум­мой (XXI) или разностью (IV) значений символов. Действие и значение символа зависят от места символа по отношению к другому символу, т. е. значение сим­вола неоднозначно. Так, число 99 в римской системе изображается XCIC. Символ Х на любом месте равен 10, но в сочетании «слева от старшего» (ХС) Х=-10, в сочетании после младшего (IX) Х=+10. В непози­ционных системах счисления не принято представлять дробные и отрицательные числа, действия над числами связаны с большими трудностями, поэтому использу­ются только для наименования веков, знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

В позиционных системах счисления количествен­ное значение символа (цифры) в числе зависит от его места (позиции или разряда). Для позиционных си­стем счисления характерным и определяющим явля­ется наличие основания системы, которое показывает, во-первых, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю по­зицию и, во-вторых, какое число различных цифр вхо­дит в ограниченный набор, называемый алфавитом си­стемы счисления.

Основанием системы счисления может быть любое целое число не менее 2. Наименование системы счи­сления соответствует ее основанию (десятичная, дво­ичная и т. д.) (таблица 2).

Таблица 2

Основание системы счисления	Алфавит системы счисления	Наименование системы счисления
	0,1	Двоичная
	0,1,2	Троичная
	0,1,2,3	Четверичная
	0,1,2,3,4	Пятиричная
	0,1,2,3,4,5,6,7	Восьмеричная
	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	Десятичная
	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F	Шестнадцатиричная

 

В позиционных системах счисления значение од­ной и той же цифры зависит как от позиции, которую цифра занимает в числе, так и от системы счисления, т е. ее основания. Например, цифра 1 в числе может иметь следующие значения (см. таблицу 3).

В десятичном числе А₍₁₀₎= 552,25 = 5*10² + 5*10¹ + 2*10⁰ + 2*10^-1 + 5*10^-2 цифры 5 и 2, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения, при перемещении цифры на следующую позицию ее величина изменяется в 10 раз: Алфавит включает 10 цифр от 0 до 9, т. е. основание системы равно 10.

Любое число в любой позиционной системе счи­сления можно записать в общем виде:

,

или представить степенным рядом

,

Или

, (1.3)

 

где s — основание системы счисления;

a_k - любая цифра из алфавита системы основа­ния s ;

т,l - число позиций (разрядов) соответственно сую целой (т) и дробной (l) частей числа.

 

Для представления чисел используется также схе­ма Горнера:

 

В современных ЭВМ используются позиционные системы счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16. В та­блице 3 приведено соответствие чисел в этих системах. Основание в лю­бой системе изображается 10, но имеет разное количе­ственное значение.

Таблица 3

 

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная	Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
			0А 0В 0С				0D 0E 0F

 

Наименьшее число цифр имеет алфавит двоичной системы (0 и 1), и она является самой простой для вы­полнения действий. Например:

• при сложении чисел:

• при вычитании чисел:

 

• при умножении чисел:

При умножении двоичных чисел частичные произ­ведения множимого числа на один разряд множителя равны либо множимому числу, либо нулю.

Действия над числами с основаниями 8 и 16 не­привычны и поэтому вызывают некоторые сложности. При их выполнении как и в десятичной системе счи­сления, при сложении чисел может образоваться еди­ница переноса в старший разряд, если сумма цифр рав­на или больше основания (8 или 16). При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры вы­читаемого, из старшего разряда занимается одна «еди­ница», значение которой равно основанию.

Примеры: