Нормальная форма представления чисел в памяти ЭВМ.

Число можно представить в различной форме записи, например:

А = 571,25 ⁼ 57125* 10^-2 = 0,57125*10³ = 0,0057125 • 10⁵.

 

Любое число в нормальной форме представляется в виде:

(1.7)

 

где m_A — мантисса числа A,

s — основание системы счисления,

P_A —порядок.

Для однозначности представления чисел исполь­зуется нормализованная форма, при которой мантисса должна отвечать условию:

.

 

Ограничение справа требует, чтобы мантисса представлялась правильной дробью, ограничение сле­ва - чтобы после запятой присутствовала значащая цифра (не 0).

Нормальную форму называют также полулогариф­мической или с плавающей запятой, положение кото­рой определяется порядком, а также экспоненциаль­ной.

Для представления чисел в нормальной форме ис­пользуются фиксированные форматы разной длины. В разрядной сетке форматов отводятся места для зна­ка мантиссы (нулевой разряд), знака порядка (первый разряд), значения порядка (6 разрядов, со 2-го по 7-й), в остальные разряды записывается мантисса числа. В других форматах первый байт не изменяется, а увели­чивается область под мантиссу. На схеме 8 представле­на разрядная сетка в формате 4 байта.

Диапазон представления чисел можно оценить по максимальному значению:

,

Где m_max=1-2^-24,

P_max=2⁶-1=63.

Например, при s=2:

 

По сравнению с естественной формой, диапазон представления чисел в нормальной форме при той же разрядной сетке увеличился на 10 порядков. Для примера рассмотрим форматы представления числа в ЭВМ ЕС: короткий Е (4 байта), длинный D (8 байт) и повышенной точности (16 байт).

Особенностями нормальной формы в ЭВМ ЕС яв­ляются следующие:

1. Смещение числовой оси порядков в область по­ложительных значений для облегчения действий над порядками, не имеющими знака. Обычно 7 разрядов (схема 8) отводится под значение порядка и его знак.

Следовательно, числовая ось порядков находится в диапазоне -2⁶ <= Р <= 2⁶-1 или -64 < =Р <= 63 (Р -порядок числа).

Смещенный порядок (называемый характеристи­кой) определяется его смещением на +2⁶ == 64₁₀ =40₁₆. В этом случае характеристика Рх = Р + 40 не имеет знака.

Теперь характеристика может принимать значения в диапазоне

 

и под ее значение, как уже было сказано, отводятся 7 разрядов (максимальное значение порядка 2⁷-1 =127). Очевидно, если Рх = 40, то Р = 0, если Рх < 40, то порядок отрицательный Р < 0, при Рх > 40 — поря­док положительный Р > 0. Если Рх < 0 или Рх > 7F, то значение характеристики пропадает и результаты ис­кажаются.

2. Мантиссы и порядки чисел выражаются в шест­надцатиричной системе счисления в двоичном виде, что обеспечивает увеличение диапазона представле­ния чисел, так как изменение характеристики на 1 при­водит к сдвигу мантиссы на одну шестнадцатиричную цифру, т. е. сразу на одну двоичную тетраду. Действи­тельно, если в формулу (1.7) подставить s = 16, то

Таким образом, значение порядка увеличилось в 4 раза.

Представим в разрядной сетке формата Е два числа (знак ~ обозначает равенство чисел в разных системах счисления):

Для этого найдем нормализованные мантиссы и характеристики:

m_A= 0,7D08,8, Pха = 40 + 4 = 44;

m_B = -0,7D08,8, pxb = 40 + 4 = 44 (схема 9). Здесь так же, как и при естественной форме хра­нения числа, его знак определяется по первой шестна­дцатиричной цифре кода.

Таким образом две первые шестнадцатиричные цифры кода числа с плавающей запятой определяют характеристику Рх с учетом знака числа (0 или 1 в стар­шем разряде первой двоичной тетрады). Для положи­тельных чисел две первые шестнадцатиричные цифры кода числа образуются как сумма Рх + 00₍₁₆₎, а для отри­цательных - Рх + 80₍₁₆₎.

 

Схема 9. Представление чисел А и В в формате Е и их коды

Схема 10. Представление чисел С и D в разрядной сетке и их коды

 

Представим в разрядной сетке (см. схему 10) два других числа: С₍₁₀₎= 0,015625 ~ С₍₁₆₎ = 0,04 и D₍₁₀₎ = -0,015625 ~ D₍₁₆₎ = 0,04

Для этого найдем нормализованные мантиссы, по­рядки и характеристики этих чисел:

m_C == 0,4; Р_c = -1; P_хс ⁼ 40-1 = 3F; с учетом знака P_хс + 00₍₁₆₎ = 3F;

m_D = -0,4; P_D = -1; P_xd ⁼⁼ 40-1 = 3F; с учетом знака P_xd + 80₍₁₆₎ = BF.

По шестнадцатиричному коду числа с плавающей запятой нетрудно определить и само десятичное число. Рассмотрим примеры кодов чисел, представленных на схемах 9 и 10.

Код числа A₍₁₆₎ = 447D0880.

Характеристика с учетом знака = 44, первая ци­фра 4 < 8. Поэтому, число положительное, характе­ристика P_ха ⁼ 44₍₁₆₎-00₍₁₆₎ = 44₍₁₆₎, порядок числа Р_A =- 44₍₁₆₎=40₍₁₆₎ – 40₍₁₆₎, а мантисса числа т_A = 0,7D088₍₁₆₎. Таким образом, число А₍₁₆₎ = т_A • 16^PA = 0,7D088•16⁴ = = 7D08,8. Следовательно,

А₍₁₀₎ = 7 • 16³ + 13 • 16² + 8 • 16⁰ + 8 • 16^-1 =

= 28672 + 3328 + 8 + 0,5 == 32008,5.

Код числа B₍₁₆₎ = C47D0880.

Характеристика с учетом знака = С4, первая цифра С > 7. Поэтому, число отрицательное, ха­рактеристика Pхв = C4₍₁₆₎-80₍₁₆₎ = 44(16), порядок чи­сла Р_B = 44_(16)-40₍₁₆₎ = 4₍₁₆₎, а мантисса числа m_B == = -0,7D088₍₁₆₎. Вычисления аналогичны, следователь­но, B₍₁₆₎ = -7D08,8, a B₍₁₀₎ = -32008,5.

Код числа C₍₁₆₎ = 3F4400000.

Характеристика с учетом знака == 3F, первая ци­фра 3 < 8. Поэтому, число положительное, характе­ристика Р_XC== 3F₍₁₆₎-00₍₁₆₎ = 3F₍₁₆₎ , порядок числа Рс == = 3F₍₁₆₎-40₍₁₆₎ = -1₍₁₆₎, а мантисса числа т_C = 0,4₍₁₆₎. Та­ким образом, число C₍₁₆₎ = т_C•16^Pc = 0,4- 16^-1 == 0,04₍₁₆₎. Следовательно, С₍₁₀₎ = 4 • 16^-2 = 0,015625.

Код числа D₍₁₆₎ = BF4400000.

Характеристика с учетом знака = ВF, первая ци­фра В > 7. Поэтому, число отрицательное, характери­стика P_xd = BF₍₁₆₎-80₍₁₆₎ = 3F₍₁₆₎, порядок числа Р_D = = 3F₍₁₆₎-40₍₁₆₎ = -l₍₁₆₎, а мантисса числа т_D = -0,4₍₁₆₎. Таким образом, число D₍₁₆₎ = m_D • 16^PD = -0,4 • 16^-1 = ⁼ -0,04₍₁₆₎.

Следовательно, D₍₁₆₎ = -4 • 16^-2 = -0,015625.