Система аксиом и правил вывода - раздел Информатика, ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ
Зафиксируем Некоторую Произвольную Сигнатуру Σ И Определ...
Примем следующие соглашения. Пусть x1,…,xn ‑ переменные, t1,…,tn ‑ термы сигнатуры Σ и φ ‑ формула сигнатуры Σ. Запись будет обозначать результат подстановки термов t1,…,tnвместо всех свободных вхождений в φ переменных x1,…,xn соответственно, причем, если в тексте встречается запись , то предполагается, что для всех i{1,...,n} ни одно свободное вхождение в φ переменной xi не входит в подформулу φвида y или y , где у – переменная, входящая в ti.
Аксиомами ИПΣявляются следующие формулы для любых формул φ, ψ, χ ИПΣ, любых переменных x,y,z и любого терма t:
1) φ→(ψ→φ);
2) (φ→ψ)→((φ→(ψ→χ))→(φ→χ));
3) (φ∧ψ)→φ;
4) (φ∧ψ)→ψ;
5) (φ→ψ)→((φ→χ)→(φ→(ψ∧χ)));
6) φ→(φ∨ψ);
7) φ→(ψ∨φ);
8) (φ→χ)→((ψ→x)→((φ∨ψ)→χ));
9) (φ→ψ)→((φ→¬ψ)→¬φ);
10) ¬¬φ→φ;
11) xφ→(φ)tx;
12) (φ)tx→xφ;
13) x=x;
14) x=y→((φ)xz→(φ)yz).
Указанные формулы называются схемами аксиом ИПΣ. При подстановке конкретных формул в какую-либо схему получается частный случай схемы аксиом.
Правила вывода ИПΣ:
1.
2.
3.
где в правилах 2 и 3 переменная x не входит свободно в χ.
Говорят, что формула φ выводима в ИПΣ из формул φ1,…,φm(обозначается φ1,…,φm⊢φ), если существует последовательность формул ψ1,…,ψk,φ,в которой любая формула либо является аксиомой, либо принадлежит множеству формул {φ1,…,φm},называемых гипотезами, либо получается из некоторых φ1,…, φi-1по одному из правил вывода 1-3? Причем при применении правил 2 и 3 переменная x не должна входить ни в одну гипотезу свободно. Выводимость формулы φ из (⊢φ) равносильна тому, что φ ‑ теорема ИПΣ или доказуемая формула ИПΣ.
Так же, как в исчислении высказываний, определяется понятие квазивывода.
Формула ψ ИПΣ называется тавтологией в ИПΣ, если она получается из формулы φ исчисления высказываний, доказуемой в исчислении высказываний, путем замены всех ее пропозициональных переменных x1,…,xnна формулы ψ1,…,ψnИПΣ соответственно. Формулу φ при этом называют основой тавтологии.
Утверждение 1. Любая тавтология φ в ИПΣдоказуема в ИПΣ.
Формулы φ и ψ ИПΣ называются пропозиционально эквивалентными, если φ→ψ и ψ→φ– тавтологии. Формулы φ и ψ ИПΣ называются эквивалентными (обозначаем φ≡ψ), если ⊢φ→ψ и ⊢ψ→φ.
Следствие 1. Если φ и ψ ‑ пропозиционально эквивалентные формулы ИПΣ, то φ и ψ ‑ эквивалентные формулы ИПΣ.
Логика это наука о законах мышления Это одна из древнейших наук Основные законы логики были сформулированы еще древнегреческим мыслителем... Современная математическая логика определяется как раздел математики... Данное учебно практическое пособие соответствует учебной программе курса Математическая логика и теория алгоритмов...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Система аксиом и правил вывода
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ
Тема 1. «Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ) в алгебре высказываний (АВ)». Формулы АВ. Эквивалентность формул АВ.
Формулы алгебры высказываний
Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно.
В качестве примеров выс
Эквивалентные формулы алгебры высказываний
Как показано в примере 1, различные формулы могут иметь одинаковые таблицы истинности. Так возникает понятие эквивалентности формул.
Формулы φ и ψ АВ называются
Определение формального исчисления
Введем общее понятие формального исчисления. Будем говорить, что формальное исчисление I определено, если выполняются четыре условия.
1. Имеется некоторое множество
Система аксиом и правил вывода
Используя понятие формального исчисления, определим исчисление высказываний (ИВ).
Алфавит ИВ состоит из букв x,y,z,u,v, возможно с индексами (которые называются про
Высказываний
Теорема 3.Пусть φ, ψ, χ ‑ формулы ИВ. Тогда имеют место следующие эквивалентности:
1) φ∧ φ≡φ, φ∨
Высказываний
Формула φ(x1,…,xn) ИВ называется тождественно истинной (обозначается ⊨φ), если φ(x1,…,xn) – тож
Алгебраические системы
Часто объектом изучения в математике служит множество вместе с определенной на нем структурой. Например, поля, формирующие основу обычной арифметики, линейные пространства, обеспечивающие связь гео
Формулы логики предикатов
Большинство определений этого параграфа будут индуктивными.
Введем понятие атомарной формулы сигнатуры Σ:
1) если t1, t2, T(Σ), то
В алгебраической системе
Дадим индуктивное определение истинности формулы φ(x1,…,xn) сигнатуры Σ на элементах a1,…,an А в алгебраической с
Пренексная нормальная форма в логике предикатов
Формула φ сигнатуры Σ называется бескванторной, если она не содержит кванторов. Бескванторная формула φ является дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форм
Предикатов
Утверждение 2.В ИПΣ выполнимы все эквивалентности ИВ из теоремы 3.
Утверждение 3. Пусть φ
Исчисления предикатов
Теорема 4. Все доказуемые в ИПΣ формулы являются тождественно истинными.
Доказательство проводим индукцией по длине вывода формулы. Очевид
Машины Тьюринга
Машина Тьюринга – это система, работающая в дискретные моменты времени и состоящая из следующих частей:
конечная лента, разбитая на конечное число ячеек. В ка
Примитивно рекурсивные функции
Базисными функциями называются следующие функции: – нулевая функция; – функция следования; – функция выбора.
Оператор суперпозиции (подстановки) ставит в соот
Частично рекурсивные функции
Оператор минимизации ставит в соответствие n+1-местной частичной функции n-местную частичную функцию так, что
и
или определены и не равны 0,
Логическое следствие в алгебре высказываний
Проверить истинность соотношений тремя способами (используя определение логического следствия и пп. 3,4 теоремы 2.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6.
Исчисление высказываний
Пусть - формулы исчисления высказываний. Построить вывод формулы исчисления высказываний из данного множества гипотез.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
Алгебраические системы.
Построить подсистему алгебраической системы , порожденную множеством (через обозначен булеан множества B, т.е. множество всех подмножеств множества B):
1.
2.
Формулы логики предикатов
Выписать все подформулы данной формулы сигнатуры
и определить свободные и связанные переменные формулы:
1.
2.
3.
4.
5.
В алгебраической системе
Написать формулу Ф(х), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда
1. х=1;
2. х=2n для некоторого натурального
Новости и инфо для студентов