Эквивалентные формулы алгебры высказываний - раздел Информатика, ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ Как Показано В Примере 1, Различные Формулы Могут Иметь Одинаковые Таблицы Ис...
Как показано в примере 1, различные формулы могут иметь одинаковые таблицы истинности. Так возникает понятие эквивалентности формул.
Формулы φ и ψ АВ называются эквивалентными (обозначается φ ≡ ψ), если φψ или ψ, т.е. совпадают их таблицы истинности.
Примαр 7. Построив таблицы истинности формул x→y и ¬y→¬x, убеждаемся, что (х→y) ≡ (¬y→¬x).
Легко видеть, что отношение ≡ является отношением эквивалентности на множестве формул АВ, т. е. оно рефлексивно (φ≡φ), симметрично (если φ≡ψ, то ψ≡φ), транзитивно (если φ≡ψ и ψ≡χ, то φ≡ χ), где φ,ψ,χ – произвольные формулы АВ.
Отметим основные эквивалентности между формулами АВ:
5) ¬(φ∧ψ)≡¬φ∨¬ψ, ¬(φ∨ψ)≡¬φ∧¬ψ (законы де Моргана);
6) ¬¬φ≡φ (закон двойного отрицания);
7) φ→ψ≡¬φ∨ψ;
8) φ∧(φ∨ψ)≡φ, φ∨(φ∧ψ)≡φ (законы поглощения);
9) φ∨(¬φ∧ψ)≡φ∨ψ, ¬φ∨(φ∧ψ)≡¬φ∨ψ;
10) φ∧(¬φ∨ψ)≡φ∧ψ, ¬φ∧(φ∨ψ)≡¬φ∧ψ.
К перечисленным ранее соглашениям, пользуясь законами ассоциативности, добавляем следующее: в формулах вида (φ∧ψ)∧χ, φ∧(ψ∧χ), (φ∨ψ)∨χ и φ∨(ψ∨χ) скобки можно опускать.
Утверждение 1. Если формула φ1тождественно истинна, φ0 — тождественно ложна, то для любых формул φ и ψ справедливы следующие эквивалентности:
Логика это наука о законах мышления Это одна из древнейших наук Основные законы логики были сформулированы еще древнегреческим мыслителем... Современная математическая логика определяется как раздел математики... Данное учебно практическое пособие соответствует учебной программе курса Математическая логика и теория алгоритмов...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Эквивалентные формулы алгебры высказываний
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ
Тема 1. «Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ) в алгебре высказываний (АВ)». Формулы АВ. Эквивалентность формул АВ.
Формулы алгебры высказываний
Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно.
В качестве примеров выс
Определение формального исчисления
Введем общее понятие формального исчисления. Будем говорить, что формальное исчисление I определено, если выполняются четыре условия.
1. Имеется некоторое множество
Система аксиом и правил вывода
Используя понятие формального исчисления, определим исчисление высказываний (ИВ).
Алфавит ИВ состоит из букв x,y,z,u,v, возможно с индексами (которые называются про
Высказываний
Теорема 3.Пусть φ, ψ, χ ‑ формулы ИВ. Тогда имеют место следующие эквивалентности:
1) φ∧ φ≡φ, φ∨
Высказываний
Формула φ(x1,…,xn) ИВ называется тождественно истинной (обозначается ⊨φ), если φ(x1,…,xn) – тож
Алгебраические системы
Часто объектом изучения в математике служит множество вместе с определенной на нем структурой. Например, поля, формирующие основу обычной арифметики, линейные пространства, обеспечивающие связь гео
Формулы логики предикатов
Большинство определений этого параграфа будут индуктивными.
Введем понятие атомарной формулы сигнатуры Σ:
1) если t1, t2, T(Σ), то
В алгебраической системе
Дадим индуктивное определение истинности формулы φ(x1,…,xn) сигнатуры Σ на элементах a1,…,an А в алгебраической с
Пренексная нормальная форма в логике предикатов
Формула φ сигнатуры Σ называется бескванторной, если она не содержит кванторов. Бескванторная формула φ является дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форм
Система аксиом и правил вывода
Зафиксируем некоторую произвольную сигнатуру Σ и определим исчисление предикатов сигнатуры Σ (ИПΣ).
Формулами ИПΣ
Предикатов
Утверждение 2.В ИПΣ выполнимы все эквивалентности ИВ из теоремы 3.
Утверждение 3. Пусть φ
Исчисления предикатов
Теорема 4. Все доказуемые в ИПΣ формулы являются тождественно истинными.
Доказательство проводим индукцией по длине вывода формулы. Очевид
Машины Тьюринга
Машина Тьюринга – это система, работающая в дискретные моменты времени и состоящая из следующих частей:
конечная лента, разбитая на конечное число ячеек. В ка
Примитивно рекурсивные функции
Базисными функциями называются следующие функции: – нулевая функция; – функция следования; – функция выбора.
Оператор суперпозиции (подстановки) ставит в соот
Частично рекурсивные функции
Оператор минимизации ставит в соответствие n+1-местной частичной функции n-местную частичную функцию так, что
и
или определены и не равны 0,
Логическое следствие в алгебре высказываний
Проверить истинность соотношений тремя способами (используя определение логического следствия и пп. 3,4 теоремы 2.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6.
Исчисление высказываний
Пусть - формулы исчисления высказываний. Построить вывод формулы исчисления высказываний из данного множества гипотез.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
Алгебраические системы.
Построить подсистему алгебраической системы , порожденную множеством (через обозначен булеан множества B, т.е. множество всех подмножеств множества B):
1.
2.
Формулы логики предикатов
Выписать все подформулы данной формулы сигнатуры
и определить свободные и связанные переменные формулы:
1.
2.
3.
4.
5.
В алгебраической системе
Написать формулу Ф(х), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда
1. х=1;
2. х=2n для некоторого натурального
Новости и инфо для студентов