рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Система аксиом и правил вывода

Система аксиом и правил вывода - раздел Информатика, ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ Используя Понятие Формального Исчисления, Определим Исчисление Высказывани...

Используя понятие формального исчисления, определим исчисление высказываний (ИВ).

Алфавит ИВ состоит из букв x,y,z,u,v, возможно с индексами (которые называются пропозициональными переменными), логических символов (связок) ¬, ∧, ∨, →, а также вспомогательных символов (, ).

Множество формул ИВ определяется индуктивно:

а) все пропозициональные переменные являются формулами ИВ;

б) если φ, ψ ‑ формулы ИВ, то ¬φ, (φ∧ψ), (φ∨ψ), (φ → ψ) – формулы ИВ;

в) выражение является формулой ИВ тогда и только тогда, когда это может быть установлено с помощью пунктов "а" и "б".

Таким образом, любая формула ИВ строится из пропозициональных переменных с помощью связок ¬, ∧, ∨, →.

В дальнейшем при записи формул будем опускать некоторые скобки, используя те же соглашения, что и в предыдущей главе.

Подформулой ψ формулы φ ИВ называется подслово φ, являющееся формулой ИВ.

Под длиной формулы будем понимать число символов, входящих в слово φ.

Аксиомами ИВ являются следующие формулы для любых формул φ, ψ, χ ИВ:

1) φ→(ψ→φ);

2) (φ→ψ)→((φ→(ψ→χ))→(φ→χ));

3) (φ∧ψ)→φ;

4) (φ∧ψ)→ψ;

5) (φ→ψ)→((φ→χ)→(φ→(ψ∧χ)));

6) φ→(φ∨ψ);

7) φ→(ψ∨φ);

8) (φ→χ)→((ψ→x)→((φ∨ψ)→χ));

9) (φ→ψ)→((φ→¬ψ)→¬φ);

10) ¬¬φ→φ.

Указанные формулы называются схемами аксиом ИВ. При подстановке конкретных формул в какую-либо схему получается частный случай схемы аксиом.

Единственным правилом вывода в ИВ является правило заключения (modus ponens): если φ и φ→ψ выводимые формулы, то ψ ‑ также выводимая формула. Символически это записывается так:

 

Говорят, что формула φ выводима в ИВ из формул φ1,…,φm (обозначается φ1,…,φmφ), если существует последовательность формул ψ1,…,ψk, в которой любая формула либо является аксиомой, либо принадлежит множеству формул {φ1,…,φm}, называемых гипотезами, либо получается из предыдущих по правилу вывода. Выводимость формулы φ из (φ) равносильна тому, что φ ‑ теорема ИВ или доказуемая формула ИПΣ.

Пример 1. Покажем, что ⊢φ→φ.

Решение. Построим вывод данной формулы:

1) (φ→(φ→φ))→((φ→((φ→φ)→φ)→(φ→φ)) (схема аксиом 2);

2) φ→(φ→φ) (схема аксиом 1);

3) (φ→((φ→φ)→φ))→(φ→φ) (к пп. 2 и 1 применили правило вывода);

4) φ→((φ→φ)→φ) (схема аксиом 1);

5) φ→φ (к пп. 4 и 3 применили правило вывода).

Квазивыводом в ИВ формулы φ из формул φ1,…,φm называется последовательность формул ψ1,…,ψk,φ, в которой любая формула , либо принадлежит множеству формул {φ1,…,φm}, либо выводима из предыдущих.

Замечание 1. Если существует квазивывод в ИВ формулы φ из формул φ1,…,φm, то φ выводима в ИВ из формул φ1,…,φm.

Пример 2.Покажем, что φ,ψφ ψ.

Решение: Построим квазивывод формул φ ψ из φ и ψ:

1) φ (гипотеза);

2) ψ (гипотеза);

3) (φ→φ)→((φ→φ)→(φ→φ ψ)) (схема аксиом 5);

4) φ→φ (теорема ИВ по примеру 1);

5) ((φ→ψ)→(φ→φ ψ)) (к пп. 4 и 3 применили правило вывода);

6) ψ→(φ→ψ) (схема аксиом);

7) φ→ψ (к пп. 2 и 6 применили правило вывода);

8) φ→φ ψ (к пп. 7 и 5 применили правило вывода);

9) φ ψ (к пп. 1 и 8 применили правило вывода).

Пример 3. Покажем, что φ¬¬φ.

Решение. Построим квазивывод формулы ¬¬φ из формулы φ:

1) φ (гипотеза);

2) (¬φ→φ)→((¬φ→¬φ)→¬¬φ) (схема аксиом 9);

3) φ→(¬φ→φ) (схема аксиом 1);

4) ¬φ→φ (к пп. 1 и 3 применили правило вывода);

5) (¬φ→¬φ)→¬¬φ (к пп. 4 и 2 применили правило вывода);

6) ¬φ→¬φ ­­­ (теорема ИВ по примеру 2);

7) ¬¬φ (к пп. 6 и 4 применили правило вывода).

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ

Логика это наука о законах мышления Это одна из древнейших наук Основные законы логики были сформулированы еще древнегреческим мыслителем... Современная математическая логика определяется как раздел математики... Данное учебно практическое пособие соответствует учебной программе курса Математическая логика и теория алгоритмов...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Система аксиом и правил вывода

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ
Тема 1. «Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ) в алгебре высказываний (АВ)». Формулы АВ. Эквивалентность формул АВ.

Формулы алгебры высказываний
Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. В качестве примеров выс

Эквивалентные формулы алгебры высказываний
Как показано в примере 1, различные формулы могут иметь одинаковые таблицы истинности. Так возникает понятие эквивалентности формул. Формулы φ и ψ АВ называются

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы в алгебре высказываний
Если х — логическая переменная, δ {0,1}, то выражение   называется литерой. Литеры х и ¬х называются контрарными. Э

Определение формального исчисления
  Введем общее понятие формального исчисления. Будем говорить, что формальное исчисление I определено, если выполняются четыре условия. 1. Имеется некоторое множество

Теорема о дедукции в исчислении высказываний
Теорема 1(о дедукции). Пусть φ1,…,φm,φ,ψ – формулы ИВ. Тогда φ1,…,φm,φ⊢

Теорема о замене в исчисления высказываний
Формулы φ и ψ назовем эквивалентными (обозначим φ≡ψ), если φ⊢ψ и ψ⊢φ.

Свойства выводимых и эквивалентных формул исчисления высказываний
Утверждение 3.Пусть φ,ψ, χ – формулы ИВ. Тогда 1) ⊢φ→φ; 2) φ∧ψ⊢φ;

Высказываний
Теорема 3.Пусть φ, ψ, χ ‑ формулы ИВ. Тогда имеют место следующие эквивалентности: 1) φ∧ φ≡φ, φ∨

Высказываний
  Формула φ(x1,…,xn) ИВ называется тождественно истинной (обозначается ⊨φ), если φ(x1,…,xn) – тож

Алгебраические системы
Часто объектом изучения в математике служит множество вместе с определенной на нем структурой. Например, поля, формирующие основу обычной арифметики, линейные пространства, обеспечивающие связь гео

Формулы логики предикатов
Большинство определений этого параграфа будут индуктивными. Введем понятие атомарной формулы сигнатуры Σ: 1) если t1, t2, T(Σ), то

В алгебраической системе
  Дадим индуктивное определение истинности формулы φ(x1,…,xn) сигнатуры Σ на элементах a1,…,an А в алгебраической с

Логическое следствие в логике предикатов
  Через обозначим кортеж переменных ; через ‑ . Пусть φ1(),…,φn(), ψ() – формулы сигнатуры . Формула ψ называетс

Эквивалентные формулы логики предикатов
Формулы φ и ψ сигнатуры называются эквивалентными (обозначается φ ≡ ψ), если φψ или ψ . Утвержден

Пренексная нормальная форма в логике предикатов
Формула φ сигнатуры Σ называется бескванторной, если она не содержит кванторов. Бескванторная формула φ является дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форм

Система аксиом и правил вывода
  Зафиксируем некоторую произвольную сигнатуру Σ и определим исчисление предикатов сигнатуры Σ (ИПΣ). Формулами ИПΣ

Предикатов
Утверждение 2.В ИПΣ выполнимы все эквивалентности ИВ из теоремы 3. Утверждение 3. Пусть φ

Исчисления предикатов
Теорема 4. Все доказуемые в ИПΣ формулы являются тождественно истинными. Доказательство проводим индукцией по длине вывода формулы. Очевид

Машины Тьюринга
  Машина Тьюринга – это система, работающая в дискретные моменты времени и состоящая из следующих частей: конечная лента, разбитая на конечное число ячеек. В ка

Примитивно рекурсивные функции
  Базисными функциями называются следующие функции: – нулевая функция; – функция следования; – функция выбора. Оператор суперпозиции (подстановки) ставит в соот

Частично рекурсивные функции
  Оператор минимизации ставит в соответствие n+1-местной частичной функции n-местную частичную функцию так, что и или определены и не равны 0,

Совершенные дизъюнктивные нормальные формы, совершенные конъюнктивные нормальные формы
Построить таблицы истинности для следующих формул алгебры высказываний и привести эти формулы к СДНФ и СКНФ. 1. (x∧¬y)→(y∧z);

Логическое следствие в алгебре высказываний
Проверить истинность соотношений тремя способами (используя определение логического следствия и пп. 3,4 теоремы 2. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.

Исчисление высказываний
  Пусть - формулы исчисления высказываний. Построить вывод формулы исчисления высказываний из данного множества гипотез. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

Алгебраические системы.
Построить подсистему алгебраической системы , порожденную множеством (через обозначен булеан множества B, т.е. множество всех подмножеств множества B): 1. 2.

Формулы логики предикатов
  Выписать все подформулы данной формулы сигнатуры и определить свободные и связанные переменные формулы: 1. 2. 3. 4. 5.

В алгебраической системе
  Написать формулу Ф(х), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда 1. х=1; 2. х=2n для некоторого натурального

Логическое следствие в логике предикатов
Пусть – формулы логики предикатов, и . . Доказать следующие соотношения. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги