Формулы φ и ψ назовем эквивалентными (обозначим φ≡ψ), если
φ⊢ψ и ψ⊢φ.
Замечание 2.Для любых формул φ и ψ ИВ
φ≡ψ ⊢φ→ψ и ⊢ ψ→φ.
Утверждение 1.Отношение ≡ является отношением эквивалентности на множестве формул ИВ, т.е. для любых формул φ, ψ, χ ИВ:
а) φ≡φ;
b) φ≡ψ ψ≡φ;
с) φ≡ψ, ψ≡x φ≡x.
Утверждение 2.Для любых формул φ, ψ, φ1, ψ1, φ2, ψ2 ИВ таких, что φ1≡ψ1 и φ2≡ψ2, имеют место эквивалентности:
φ1∧φ2≡ψ1∧ψ2, φ1∨φ2≡ψ1∨ψ2, φ1→φ2≡ψ1→ψ2, ¬φ1≡¬ψ1.
Теорема 2(о замене). Пусть φ ‑ формула ИВ, ψ ‑ ее подформула, φ' получается из φ заменой некоторого вхождения ψ на формулу ψ' ИВ и ψ≡ψ'. Тогда φ≡φ'.