Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине. - раздел Информатика, Кафедра математики и информатики. Практикум Задача 1. Закон Размножения Бактерий С Течением Времени.
Скор...
Задача 1. Закон размножения бактерий с течением времени.
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Найти зависимость изменения количества бактерий от времени.
Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный момент, через х. Тогда
где k — коэффициент пропорциональности.
В этом уравнении разделим переменные и проинтегрируем его:
Потенцируем последнее выражение:
Полагая, что при t=0 х=х0, получим С=x0. Следовательно,
(10.12)
Уравнение (9.7.1) выражает закон размножения бактерий с течением времени. Таким образом, при благоприятных условиях увеличение бактерий с течением времени происходит по экспоненциальному закону.
Этот закон представляет интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения. Он говорит о том, что, создавая для полезной популяции благоприятные условия, можно очень быстро получить популяцию с больший численностью. Весьма показательна в этом смысле история с пенициллином. Когда был открыт этот антибиотик, грибки, его выделяющие, стали выращивать в наилучших условиях. Их неограниченно подкармливали, следили, чтобы им не было тесно, и, конечно, оберегали от вредных видов. Будущий урожай можно было совершенно точно подсчитать по формуле. Размножаясь в соответствии с экспоненциальным законом, пенициллиновые грибки в короткий срок обеспечили весь мир ценным лекарством.
Экспоненциальному закону размножения подчиняется так называемый «экологический взрыв», когда тот или иной биологический вид, попав в благоприятные условия, за короткий срок достигает большой численности. Для примера можно указать на губительные нашествия полчищ насекомых (саранчи, шелкопряда и др.) или на неожиданные последствия акклиматизации кроликов в Австралии.
Задача 2. Закон роста клеток с течением времени.
Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к ее объему сохраняется постоянным, скорость роста клетки dl/dt пропорциональна длине клетки l в данный момент:
(10.13)
где a и β — постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.
В уравнении (9.7.2) разделим переменные и проинтегрируем его:
При t=0, l=l0 постоянная С=l0, и поэтому
т.е. рост палочковидных клеток происходит по экспоненциальному закону.
Задача 3. Закон разрушения клеток в звуковом поле.
Кавитация ультразвуковых волн проявляется в виде разрывов суспензионной среды и образования мельчайших пузырьков и пустот, плотность которых незначительна по сравнению с плотностью воды. Простейшие — бактерии, водоросли, дрожжи, лейкоциты и эритроциты — могут быть разрушены при кавитации, возникающей в интенсивном ультразвуковом ноле. В очень широком диапазоне частот относительные скорости разрушения биологических клеток различных видов остаются постоянными. Эти скорости могут характеризовать относительную хрупкость клеток различных видов. Чтобы выразить это количественно, нужно определить скорость разрушения клетки в постоянном звуковом поле. Изучение этого вопроса показывает, что, пока по крайней мере 1% популяции остается неразрушенным, можно написать, что
(10.14)
где N — концентрация клеток; t — время; R — постоянная.
Разделим в уравнении (9.7.3) переменные и проинтегрируем его:
Постоянную С найдем из условия, что при t=0 N=N0и C=N0
Тогда
Разрушение клеток в постоянном звуковом поле происходит по экспоненциальному закону.
Задача 4. Составление и решение дифференциальных уравнений в теории эпидемий.
Рассмотрим составление и решение дифференциальных уравнений в теории эпидемий при условии, что изучаемое заболевание носит длительный характер. При этом процесс передачи инфекции значительно более быстрый, чем течение самой болезни, и зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встречах инфекцию незаряженным особям.
Пусть в начальный момент t=0 a — число зараженных, b -число незаряженных особей, х(t)—число зараженных особей в момент времени t, a y(t) — число незараженных особей к моменту времени t.
В любой момент времени t для промежутка [0, Т], меньшего времени жизни одного поколения, имеет место равенство
(10.15)
При этих условиях нужно найти закон изменения числа незараженных особей с течением времени, т. е. найти y=f(t).
Так как инфекция передается при встречах зараженных особей с. незараженными, то число незараженных особей будет убывать с течением времени пропорционально количеству встреч между зараженными и незаряженными особями. Для, промежутка времени dt
Откуда
где β — коэффициент пропорциональности.
Подставив в это уравнение x из равенства (10.15), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
После разделения дифференциалов и переменных в последнем уравнении получим
Преобразуем левую часть уравнения и проинтегрируем его:
или
Выполним в последнем уравнении потенцирование:
По начальным условиям: при t=0 y=b найдем постоянную интегрирования С:
Подставим значение С=b/a в последнее .равенство:
Разрешая это уравнение относительно у, окончательно получим
(10.16)
Формула (10.16) дает закон убывания числа незараженных особей с течением времени.
Асимптоты
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Прямая назыв
Определение функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного чи
Частные производные
Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х
Формулы для вычисления первой производной
Численное дифференцирование весьма чувствительно к погрешностям, вызванным неточностью исходных данных. Значительно меньшую погрешность имеет дифференцирование многочленов наилучшег
Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
Для произвольно заданных узлов интерполяции можно воспользоваться формулой Лагранжа или многочленом Ньютона. Интерполяционный полином Лагранжа имеет формулу
Основные свойства неопределенного интеграла
Приведем основные свойства неопределенного интеграла или правила интегрирования. Предполагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.
1. Неопределенный интеграл от
Основные методы интегрирования
7.4.1. Непосредственное интегрирование
Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к таблично
Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную
Однородные уравнения первого порядка
№4. Найти общее решение уравнения (х+у)dx–xdy=0.
Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относител
I. Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ , т.е.
Метод Эйлера
Известно, что уравнение задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравн
Случайное событие
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.
Теория вероятности изучает случайные события и случайные величины.
С
Комбинаторика
Комбинаторика — раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). Как при решении задач с использова
Вероятность случайного события
Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события.
Классическое определение вероятности события
Закон сложения вероятностей
Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).
Если А и В совместные события, то их сумм
Формулы полной вероятности и Байеса
Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B1, B2, ..., Bn
Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются незав
Случайные величины
Случайная величина - это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее неизвестно).
Закон распределения случайной величины
Это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Для дискретной случайной величины закон распределения може
Функция распределения случайных величин
Функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного х, называется функцией распределения случайной величины X:
Плотность вероятности непрерывных случайных величин
Плотностью вероятности, или плотностью распределения f(x) непрерывной случайной величины Х, называется производная её функции распределения:
f(x) = F' (x).
Ее также называют диффе
Нормальный закон распределения
Этот закон наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение является одним из самых важных распр
Характеристики положения
Мода () – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним знач
Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема n, то есть по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах в целом.
Точечная оценка параметров генеральной совокупности
Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке. Это функция результатов выборки, и она является точечной оценкой генерального параметра, т. е.
Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
Точечные оценки параметров распределения не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Поэтому построение интервала, в котором с заданной степенью достоверности
Функциональная и корреляционная зависимости
Функциональная зависимость - это зависимость вида у =f(x), когда каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y.
Коэффициент линейной корреляции и его свойства
На практике исследователя часто может интересовать не сама зависимость одной переменной от другой, а именно характеристика тесноты связи между ними, которую можно было бы выразить одним числом. Эта
Свойства коэффициента корреляции r.
Они проявляются при достаточно большом объеме выборки п.
1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке -1 ≤ r ≤ 1. В зависимости от того, насколько |r|
Библиографический список
1. Баврин И.И. Высшая математика: учеб. для студ. высш. учеб. заведений /И.И. Баврин, В.Л. Матросов. – М.: Владос, 2002. –400с.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу матема
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов