Условная вероятность, закон умножения вероятностей

Все темы данного раздела:

Определение предела
  Пусть функция f(x) определена в

Замечательные пределы
  Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. , где P(x)

Понятие производной
  Рассмотрим функцию y=f(x). Предположим, что x0 внутренняя точка множества

Геометрический и физический смысл производной
  Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x0. Тогда существует касате

Основные правила дифференцирования
Пусть u и v – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда 1. Производная суммы двух дифференц

Производные высших порядков
  Производная f ′ (x) от функции f(x) называется также производной пер

Дифференциал функции
  Если функция f(х) дифференцируема в точке х0, то ее приращение можно представить в виде

Геометрический смысл и свойства дифференциала
Пусть кривая, изображенная на рис. 2.3 является графиком функции y=

Дифференциалы высших порядков
  Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Тог

Промежутки монотонности и знакопостоянства
Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная

Экстремумы функции
  Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точк

Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
Опр. Кривая называется выпуклой на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кри

Асимптоты
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой. Прямая назыв

Определение функции нескольких переменных
  При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного чи

Частные производные
  Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х

Полный дифференциал
Для функции f(x, y) выражение Dz = f(x + Dx, y

Формулы для вычисления первой производной
  Численное дифференцирование весьма чувствительно к погрешностям, вызванным неточностью исходных данных. Значительно меньшую погрешность имеет дифференцирование многочленов наилучшег

Формулы второй производной
  По четырем точкам: ; (первое значение)

Постановка задачи
  Пусть некоторая функция f(x) задана таблично на интервале [a,b] f(xn)=yn, f(x1)=y

Интерполяционные формулы конечных разностей
  Для функции f(x), заданной таблично, величина Di=yi+1-yi называется первой нисходя

Интерполяционные формулы центральных разностей
  Для функции y=f(x) заданной в равноотстоящих узлах центральные разности определяются соотношением

Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
  Для произвольно заданных узлов интерполяции можно воспользоваться формулой Лагранжа или многочленом Ньютона. Интерполяционный полином Лагранжа имеет формулу

Первообразная функция и неопределенный интеграл
  Пусть функция f(x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (а; b). Функция F(x

Основные свойства неопределенного интеграла
Приведем основные свойства неопределенного интеграла или правила интегрирования. Предполагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют. 1. Неопределенный интеграл от

Основные методы интегрирования
7.4.1. Непосредственное интегрирование Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к таблично

Свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. 2.

Основные методы интегрирования
8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница Для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a;b]функции f(x)

Формула прямоугольников
  Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , x

Формула трапеций
  Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников. Подынтегральн

Метод средних
  Пусть для определенности a = x0, b = xn. Обозначим через

Формула Симпсона
(формула парабол или квадратурная формула)   Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков п

Основные определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x), и ее производные

Однородные уравнения первого порядка
Функция f(x, y) называется однородной функцией степени n, где n – целое число, если при любом

Линейные уравнения первого порядка
  Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную

Однородные уравнения первого порядка
№4. Найти общее решение уравнения (х+у)dx–xdy=0. Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относител

I. Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ , т.е.

II. Метод Бернулли
Пусть. Тогда

Метод вариации произвольной постоянной
Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ Разделяя переменные и интегрируя, получим ln|

Метод подстановки
Полагаем , где u=u(y), v=v(y)

Однородные уравнения первого порядка
№10.3. Найдите общие решения уравнений: а) ; б)

Линейные уравнения первого порядка
№10.5. Решить дифференциальные уравнения: а) ; б)

Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
Задача 1. Закон размножения бактерий с течением времени. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Найти зависимость изменения кол

Метод Эйлера
  Известно, что уравнение задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравн

Случайное событие
  Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Теория вероятности изучает случайные события и случайные величины. С

Комбинаторика
  Комбинаторика — раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). Как при решении задач с использова

Вероятность случайного события
  Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события. Классическое определение вероятности события

Закон сложения вероятностей
  Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В). Если А и В совместные события, то их сумм

Формулы полной вероятности и Байеса
  Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B1, B2, ..., Bn

Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются незав

Случайные величины
Случайная величина - это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее неизвестно).

Закон распределения случайной величины
Это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для дискретной случайной величины закон распределения може

Функция распределения случайных величин
Функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного х, называется функцией распределения случайной величины X:

Числовые характеристики дискретной случайной величины
1. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Плотность вероятности непрерывных случайных величин
Плотностью вероятности, или плотностью распределения f(x) непрерывной случайной величины Х, называется производная её функции распределения: f(x) = F' (x). Ее также называют диффе

Нормальный закон распределения
Этот закон наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение является одним из самых важных распр

Характеристики положения
  Мода () – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним знач

Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема n, то есть по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах в целом.

Точечная оценка параметров генеральной совокупности
Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке. Это функция результатов выборки, и она является точечной оценкой генерального параметра, т. е.

Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
Точечные оценки параметров распределения не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Поэтому построение интервала, в котором с заданной степенью достоверности

Функциональная и корреляционная зависимости
Функциональная зависимость - это зависимость вида у =f(x), когда каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y.

Коэффициент линейной корреляции и его свойства
На практике исследователя часто может интересовать не сама зависимость одной переменной от другой, а именно характеристика тесноты связи между ними, которую можно было бы выразить одним числом. Эта

Свойства коэффициента корреляции r.
Они проявляются при достаточно большом объеме выборки п. 1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке -1 ≤ r ≤ 1. В зависимости от того, насколько |r|

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной корреляции
Это ответ на вопрос: существует ли вообще эта связь. Эмпирический коэффициент корреляции, как и любой другой выборочный показатель, служит оценкой своего ге

Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
При проведении современных клинических исследований обычно нет недостатка в информации: каждому пациенту соответствует целое множество различных клинических показателей и данных. В них мог

Нелинейная регрессия
Если график регрессии = f(x) изображается кривой линией (рис. 6), то это нелинейная регрес

T-распределение (распределение Стьюдента)
P (t > ta) = a и P (|t| > ta) = a   Таблица 1 k Односторонняя критическая область (a)

Истинной и эмпирической функции распределения
Таблица 4 n Уровень значимости 0,05 Уровень значимости 0,01   точная граница асимптотическ

Библиографический список
  1. Баврин И.И. Высшая математика: учеб. для студ. высш. учеб. заведений /И.И. Баврин, В.Л. Матросов. – М.: Владос, 2002. –400с. 2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу матема