ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

 

Раздел 1. Элементы дискретной математики, линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.

1. Понятие множества. Способы задания.

2. Подмножество. Мощность конечного множества.

3. Диаграмма Венна-Эйлера.

4. Операции над множествами.

5. Свойства множеств.

6. Логика высказываний. Простое, сложное высказывание.

7. Таблица истинности высказываний.

8. Логика предикатов. Квантор всеобщности. Квантор существования

9. Основные понятия графа.

10. Неориентированный граф. Вершина. Ребро.

11. Ориентированный граф. Вершина. Дуга.

12. Матрица смежности.

13. Матрица инцидентности.

14. Комбинаторика. Правило суммы. Правило произведения.

15. Перестановки. Размещения. Сочетания.

16. Перестановки с повторениями. Сочетания с повторениями.

17. Бином Ньютона, его свойства. Треугольник Паскаля.

18. Основные сведения о матрицах.

19. Операции над матрицами.

20. Определители квадратных матриц.

21. Свойства определителей.

22. Обратная матрица.

23. Ранг матрицы.

24. Система n линейных уравнений с n переменными.

25. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

26. Метод Гаусса.

27. Системы линейных однородных уравнений.

28. Модель Леонтьева – модель многоотраслевой экономики (балансовый анализ).

29. Понятия n-мерного вектора и векторного пространства.

30. Размерность и базис векторного пространства.

31. Переход к новому базису.

32. Евклидово пространство.

33. Линейные операторы.

34. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

35. Модели представления комплексных чисел.

36. Алгебраическая форма представления комплексных чисел.

37. Тригонометрическая и показательная формы представления комплексных чисел.

38. Системы координат.

39. Простейшие задачи аналитической геометрии.

40. Уравнение линии на плоскости.

41. Уравнение прямой.

42. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

43. Расстояние от точки до прямой.

44. Окружность и эллипс.

45. Гипербола и парабола.

46. Полярные координаты.

47. Плоскость и прямая в пространстве.

 

Раздел 2. Математический анализ.

1. Понятие функции. Основные свойства и классификация.

2. Предел функции. Основные теоремы о пределах.

3. Непрерывность функции.

4. Применение функций в экономике.

5. Понятие производной функции.

6. Основные правила дифференцирования.

7. Дифференциал функции.

8. Экономический смысл производной.

9. Основные теоремы дифференциального исчисления.

10. Правило Лопиталя.

11. Возрастание и убывание функций.

12. Характерные точки функций и характерные линии их графиков.

13. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

14. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

15. Свойства неопределенного интеграла.

16. Методы интегрирования.

17. Понятие определенного интеграла.

18. Свойства определенного интеграла.

19. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

20. Методы вычисления определенного интеграла.

21. Геометрические приложения определенного интеграла.

22. Применение понятия определенного интеграла в экономической теории.

23. Несобственные интегралы.

24. Понятие числового ряда. Основные свойства рядов.

25. Понятие сходимости ряда. Необходимый признак сходимости ряда.

26. Признаки сравнения для исследования сходимости рядов с положительными членами.

27. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

28. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда.

29. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда.

30. Ряды Тейлора и Маклорена.

31. Понятие функции нескольких переменных, предел и непрерывность функции.

32. Частные производные первого порядка и полный дифференциал функции нескольких переменных.

33. Производная по направлению, градиент функции.

34. Экстремумы функции многих переменных, необходимое и достаточное условие экстремума.

35. Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа.

36. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.

37. Геометрическая интерпретация двойного интеграла.

38. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.

39. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

40. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

41. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

42. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

43. Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

44. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.

 

Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика.

1. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и их классификация.

2. Вероятность события. Классическое, статистическое и геометрическое определения.

3. Действия над событиями.

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

5. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

6. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.

8. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

9. Случайная величина и ее закон распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины.

10. Основные законы распределения случайных величин: равномерное, Бернулли, Пуассона, экспоненциальное, нормальное.

11. Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Их свойства.

12. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их свойства.

13. Мода, медиана, квантили. Начальные и центральные моменты случайных величин.

14. Неравенства Маркова и Чебышева.

15. Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Пуассона.

16. Центральная предельная теорема.

17. Многомерные случайные величины.

18. Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Их свойства.

19. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.

20. Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции.

21. Общие сведения о выборочном методе.

22. Вариационные ряды и их графическое изображение.

23. Числовые характеристики выборочного распределения. Их свойства.

24. Понятие об оценке параметров. Характеристики оценок.

25. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов.

26. Оценка генеральной доли, генеральной средней и генеральной дисперсии.

27. Понятие об интервальной оценке параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Объем выборки.

28. Понятие статистической гипотезы и общая схема ее проверки.

29. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий двух совокупностей.

30. Проверка гипотез о законе распределения выборки.

31. Проверка гипотез об однородности выборок.

32. Однофакторный дисперсионный анализ. Межгрупповая и внутри групповая вариации

33. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.

34. Основные положения регрессионного анализа.

35. Линейная парная регрессия.

36. Оценка тесноты корреляционной зависимости для линейной модели. Коэффициент детерминации.

37. Интервальная оценка функции регрессии.

38. Проверка значимости уравнения регрессии. Интервальная оценка параметров парной модели.

 

Раздел 4.Экономико-математические методы и модели.

1. Экономическая постановка и математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП).

2. Выбор критерия оптимизации.

3. Ограничения ЗЛП по ресурсам, ассортименту и отдельным экономическим показателям.

4. Общая модель ЗЛП в стандартной и канонической формах записи, допустимое и оптимальное решения ЗЛП.

5. Существование решения ЗЛП, геометрическая интерпретация.

6. Симплексный метод решения ЗЛП, его сущность.

7. Двойственная ЗЛП, экономический смысл двойственных переменных.

8. Теоремы двойственности.

9. Транспортная задача линейного программирования.

10. Постановка транспортной задачи линейного программирования (ТЗЛП).

11. Методы составления первого опорного плана.

12. Метод потенциалов для решения ТЗЛП.

13. Метод Фогеля для решения ТЗЛП.

14. Метод минимального элемента для решения ТЗЛП.

15. Метод северо-западного угла для решения ТЗЛП.

16. Перераспределение плана поставок, циклы пересчета.

17. Общая постановка задачи динамического программирования.

18. Метод решения маршрутной задачи динамического программирования

19. Метод распределения ресурса задачи динамического программирования.

20. Классификация систем массового обслуживания (СМО).

21. Марковский случайный процесс. Потоки событий.

22. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний.

23. Процессы гибели и размножения

24. СМО с отказами.

25. СМО с ожиданием.

26. Основные понятия теории игр.

27. Решение игры, когда присутствует седловая точка.

28. Решение игры в отсутствии седловой точки.

29. Правило Вальда.

30. Правило Гурвица.

31. Правило Сэвиджа.

32. Критерий Байеса.

33. Понятие нечеткого множества.

34. Нечеткие операции.

35. Многокритериальный выбор альтернатив методом максиминной свертки. Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода.

36. Общая процедура экспертной оценки.

37. Подбор экспертов.

38. Согласованность экспертов.

39. Коэффициент конкордации.

40. Суть метода анализа иерархий (МАИ).

41. Постановка задачи (МАИ).

42. Математический аппарат (МАИ).

43. Модель Леонтьева.

44. Модель Солоу.

45. Модель Парето

46. Модель Кобба-Дугласа.

 

Экзамен проводится по билетам. В экзаменационный билет входят два теоретических вопроса и одна задача из числа включенных в планы практических занятий или контрольные задания.

Требования к уровню освоения дисциплины включают знание определений рассматриваемых понятий, понимание формулировок и идей доказательств используемых теорем, знание доказательств основных теорем, излагаемых на лекциях, уверенное владение методами решения задач, содержащихся в планах практических занятий.

 

 

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

 

7.1. Основная литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: «ИД Юрайт», 2012. – 909 с.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. — М.: ЮНИТИ., 2010. – 551 с.

3. Экономико-математические методы и модели. Задачник: учебно-практическое пособие/ Коллектив авторов под ред. С.И.Макарова - М.:КНОРУС, 2008. – 208с.

4. А.М.Попов и др. Экономико-математические методы и модели. Базовый курс – М.: «ИД Юрайт», 2012. – 480 с.

5. Шипачев B.C. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов. Под ред. академика А.Н. Тихонова. - М.: Высшая школа, 2009. - 479 с.

6. Математика для экономистов от арифметики до эконометрики: базовый курс / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: «ИД Юрайт», 2012. – 685 с.

 

7.2. Дополнительная литература

1. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов - М.: ООО «Издательство Астрель»; 2011. - 656 с.

2. Колемаев В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономических специальностей вузов / Под ред. В.А. Колемаева. — М.: Высшая школа., 2010. – 400 с.

3. Боровиков В.П., Боровиков И.П. Statistica - Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. - М.: Информационно-издательский дом "Филин", 2008. – 592 с.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. - 5-е изд. стер. - М.: Высшая школа, 2011.-576 с.

5. Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ. Учебное пособие. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Информационно-издательский дом "Филин", 2010. – 264 с.

6. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 352 с.

7. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD - математический Самостоятельная работа для экономистов и инженеров: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 656 с.

8. Тернер Д. Вероятность, статистика и исследование операций. Пер с англ. Е.З. Демиденко и B.C. Занадворова. Под ред. А.А. Рывкина. - М.: Статистика, 2005. - 431 с.

9. Юденков А.В. и др. Математическое программирование в экономике: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2010. - 237 с.

10. Математическая логика. Дискретная математика. Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие по математике / Под ред. А.Н. Данчула. М.: Изд-во РАГС, 2004.

11. Математика: Математический анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебно-методическое пособие / Под ред. А.Н. Данчула. М.: Изд-во РАГС, 2004.

12. Саати. Метод анализа иерархий. Радио и связь 1983.

 

 

7.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

Операционная система - Microsoft Windows XP и далее, программное обеспечение – Microsoft Office. Практические занятия проводятся в компьютерных классах с использованием локальной сети для организации работы групп студентов.

 

 

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Для обеспечения наглядности и повышения доступности материала курса «Математика» в ходе чтения лекций и проведения практических занятий используются вычислительная техника и мультимедийные средства отображения информации. Вычислительная техника необходима и для самостоятельной учебной работы студентов.