Автономные системы

Поведение автономных систем задается разностным уравнением

 

Xt+1 = f (Xt, ) (1)

 

Автономные системы моделируют ситуации, где структура системы остается неизменной со временем. Это дает возможность использовать для анализа графический метод.

 

Xt=1 = f (t, Xt, )

 

Xt = Xt+1 – Xt = f (t, Xt, ) - Xt = d (t, Xt, ) (2)

Функция d (*) показывает на сколько изменится состояние системы от периода к периоду. В каждой точке Xt можно сопоставить вектор Xt в соответствующем уравнении (2) Функция d (*) в этом контексте называется векторным полем

X0/t = 0

Для автономных систем и

В автономных системах все системы, попавшие когда-либо в т. Х0 в последствии следуют одной и той же траекторией. В неавтономных системах поведение зависит также и от того, когда система попала в т. Х0.

При начальном условии Х0 для автономных систем применим уравнение (1):

дважды последовательно примененная.

В выше приведенной системе ft означает результат t-кратного итеративного применения функции f ( ) к своему аргументу. Функция ft показывает, куда перейдет система за t периодов из начального состояния.

Пример:

Xt – куда перейдет система из т. Х0 за t периодов времени.

Функция ftиногда называется потоком системы.

 

Устойчивые состояния. Периодические равновесия. Стабильность.

 

С течением времени система переходит к устойчивому состоянию. Поэтому нас будет интересовать асимптотическое поведение системы при t → ∞.

Рассмотрим систему

Следовательно, если существует, то .

Точка Х, удовлетворяющая уравнению называется неподвижной точкой отображения .

Точка называется в контексте динамических систем устойчивым состоянием или стационарным состоянием.

Неподвижные точки широко используются для изучения долговременного поведения динамических систем.

Пример:

если , то 1 в противном случае 0