Экономическая кибернетика

Государственный університет информатики

И искусственного интеллекта

Кафедра эконоической кибернетики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К лабораторным занятиям и организации работы студентов

по курсу „Экономическая кибернетика”

Рекомендовано кафедрой

Экономической кибернетики

Протоколом «№ 4 от 26.12.2009 г.

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Экономическая кибернетика» / для студентов специальности «Экономическая…   Выполнение лабораторных работ требует применения теоретических положений к решению конкретных задач. Развитию навыков…

СОДЕРАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 4

1. МОДУЛЬНО-ТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА КУРСА 5

3. ЗАДАНИЯ К ЛАБОАТОРНЫМ ЗАНЯТИЯМ 7

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ 59

Индивидуальная работа студентов 59

ВАРИАНТЫ ИДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 60

ЛІТЕРАТУРА 78

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Предметом экономической кибернетики является сложные экономические системы и усовершенствование процессов управления ими на основе использования средств моделирования и автоматизации

Цель курса: произвести первичные знания теории и практики анализа и синтеза сложных экономических систем .

Задачи курса :

Сформировать системные знания относительно базовых понятий экономической кибернетики : система, модель, управление, информация, а также понятие экономической системы управления, как объекта экономической кибернетики

Сформировать научные принципы, для управления факторами, которые влияют на процедуры анализа экономической системы

Предоставить основные задачи анализа систем общественного потребления, анализ рыночной системы на макроуровне, анализ производственной системы. В ходе изучения основных вопросов данного курса студенты должны знать: основные процедуры и принципы идентификации экономических систем с помощью основных методов: системного подхода, математического моделирования, оценки неопределенности информации, как одного из критериев эффективного управления экономическими системами, принципы анализа и синтеза сложных производственных

систем основные принципы анализа и синтеза моделей экономических систем, а также самостоятельно рассматривать выделенные отдельные методики и приемы оптимизации экономических систем, определять задачи и критерии оптимизации экономических процессов.

Студенты должны уметь:

Использовать методы математического моделирования, системного подхода, для решения сугубо экономической проблемы определения поведения экономической системы;

Осуществлять на практике методы декомпозиционного анализа для построения предприятия как экономической системы, а также системного анализа для определения глобального и локальных критериев эффективности работы экономической системы определения направлений ее развития в динамике.

 

МОДУЛЬНО-ТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА КУРСА

Семестра

Й семестр

ЗАДАНИЯ К ЛАБОАТОРНЫМ ЗАНЯТИЯМ

МОДУЛЬ 1

Оптимизационные экономико-математические модели

В условиях рыночных отношений, когда сырьевые ресурсы ограничены, возникает вопрос оптимизации прибыли, себестоимости и экономии ресурсов.… Экономико-математическая модель оптимизации содержит одну целевую функцию –… Постановка задачи. Предприятие производит 2 вида продукции: глиняные горшки и сувениры. Прибыль от реализации единицы…

Решение.

2. Определим целевую функцию через переменные принятия решений, коэффициенты целевой функции представляют собой вклад каждого вида продукции в общую… 3. Введем ограничения на общие затраты времени и спрос в терминах переменных… 4. Для завершения формулировки модели линейного программирования необходимо ответить на вопрос: должны ли переменные…

Задания к лабораторной работе № 1.

В гранцах предложнных заданий разработайте экономико-математическую модель и сделайте экономическую интерпретацию результатов.

Задача 1. Экономическая система, состоящая из n технологических способов производства, выпускает m видов продукции и использует r видов ресурсов. Коэффициенты затрат («-») и выпуска («+») при единичной интенсивности, а также объемы ресурсов заданы в табл. 1.1-1.3.

Найти оптимальный план производства продукции. Дать полный экономический анализ полученных результатов.

Таблица 1.1

Показатели	Технологические способы	Объем ресурсов
	1 2 3 4
Ресурсы: Продукция: А В	-1 -8 -11 -5 -5 -3 -8 -7   1 1 -0,1 -0,2 - - 1 1	-3800 -4600

 

Соотношение выпускаемой продукции А:В в конечной продукции составляет 3:1.

Таблица 1.2

Показатели	Технологические способы	Объем ресурсов
	1 2 3
Ресурсы: Продукция: А В С	-1 -2 -1 -2 -2 -5   -2 -2 1 1 1 - -1 -2 -3	-4000 -6000

 

Соотношение выпускаемой продукции А:В:С в конечной продукции составляет 2:1:3.

Таблица 1.3

Показатели	Технологические способы	Объем ресурсов
	1 2 3 4
Ресурсы: Продукция: А В	-1 -8 -11 -5 -5 -3 -8 -7   1 1 -0,3 - -0,3 -0,4 1 1	-3800 -10000

Соотношение выпускаемой продукции А:В в конечной продукции составляет 2:1.

 

Задача 2. Предприятие с m видами основного оборудования может выпустить n видов. Затраты времени на изготовление единицы изделия, фонд времени по группам оборудования и прибыль в расчете на единицу изделия указаны в табл. 2.1.

Установить оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий прибыль для предприятия.

Сформулировать (формализовать) математически условия задачи, двойственной по отношению к исходной, раскрыть экономический смысл и проанализировать двойственные оценки.

Таблица 2.1

Номер	Группа	Затраты времени на обработку изделий	Фонд
варианта	оборудования	1 2 3	времени
	I II III Прибыль на единицу изделия	2 3 1 1 3 2 3 1 2   3 3 4
	I II III Прибыль на единицу изделия	4 2 1 1 3 2 2 2 4   5 4 6
	I II III Прибыль на единицу изделия	4 3 9 12 2 6 5 10 4   0,3 0,3 0,5
	I II III Прибыль на единицу изделия	4 2 1 3 6 4 1 3 6   0,5 0,3 0,4
	I II III Прибыль на единицу изделия	2 2 2 3 1 3 0 1 5   0,6 0,7 0,5

 

Задача 3. Предприятие располагает m видами ресурсов в заданных количествах, которые могут быть использованы в производстве n видов продукции. Известны нормы расхода i-го вида ресурсов на производство j-й продукции, а также показатель, характеризующий эффективность выпуска j-го изделия (табл. 3.1).

Определить план выпуска изделия, при котором обеспечивается спрос в заданных размерах, а суммарный показатель эффективности принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Таблица 3.1

Номер	Вид	Вид изделия	Объем
варианта	ресурсов	А В С	ресурсов
	Прибыль на единицу изделия	2 4 2 6 4 5 2 1 7   4 3 2
Изделий	А должно быть	произведено не менее 150 ед.
	Прибыль на единицу изделия	10 8 4 6 4 9 8 16 7   8 11 6
Изделий	А должно быть	произведено не менее 20; В -	не более 15.
	Прибыль на единицу изделия	4 2 3 6 1 4   3 5 6
Изделий	А должно быть не	менее 80; В - 40; С - не менее	120.

 

Задача 4. Предприятие, принимающее меры к организации производства трех новых видов изделий, имеет ограниченную сумму собственных средств на капиталовложения (К), но может увеличить объемы этих вложений за счет использования банковского кредита, сумма которого ограниченна (I). Естественно, что привлечение заемных средств окажется экономически оправданным только в том случае, если новое производство будет прибыльным с учетом выплачиваемых процентов.

Определить объемы производства изделий каждого вида, обеспечивающие получение максимума прибыли, если известно, что капиталовложения на единицу производства изделий первого, второго и третьего видов соответственно составляют a₁, a₂, a₃; прибыль от реализации единицы изделия каждого вида равна c₁, c₂, c₃, минимально допустимый объем производства изделия первого вида равен A₁, второго - A₂, третьего - не ограничен (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Варианты исходных данных для задачи 3.17

				1,5 2,1 1,8	1,5	4,5 2,2 3,5 3,5			2,5
				2,2 1,2 0,7 2,1 1,5 2,2 1,8 1,9 1,6	2,8 2,8 1,8 1,2 2,8 1,5	2,1 0,5 2,5 4,5 2,2 3,5 3,5 2,7	1,5 2,2 1,2 1,5	1,2 3,5 1,2 2,8	1,5 2,8 2,5

 

Задача 5.Экономико-математическая модель оптимизации производственного плана предприятия

Постановка задачи. Пусть предприятие производит i видов продукции x_i, от реализации которой получает прибыль R_i. Для производства единицы вида продукции используются j видов ресурсов, при том, что норма потребления ресурсов составляет b_ij. Объем выделенных ресурсов не может быть больше B_j. Производственные мощности предприятия позволяют производить ежемесячно не более 8 единиц продукции x₁ и 10 единиц продукции x₂. Постройте экономико-математическую модель максимизации доходов предприятия.

Методические рекомендации.Математическая модель данной задачи будет выглядеть следующим образом:

,

Варианты.

Переменная	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
R1		2,3
R2		1,8
b11
b12
b21		2,3
b22		3,4
B1
B2

Дать экономическую интерпретацию результатов решения задачи.

МОДУЛЬ 2

 

Моделирование спроса и предложения

Методические указания для лабораторных занятий.

ПЛАН

 

2.1. Функции спроса.

2.2. Функции предложения.

2.3. Система однопериодных структурных уравнений спроса и предложения.

2.4. Рекурсивные системы спроса и предложения.

 

Моделирование спроса и предложения может осуществляться с помощью построения отдельных функций спроса и предложения или системы однопериодных структурных уравнений.

 

Функции спроса.

(1) где qi – спрос на продукт і; Р1,Р2,…,Рn – цены на продукты в положении рыночного равновесия;

Функции предложения.

Вблизи средней арифметической эти функции могут быть аппроксимированы с помощью линейных зависимостей: , (10) где qi – предложение товара;

Рекурсивные системы.

Пример 4.Известным примером рекурсивных систем является спрос и предложением сельскохозяйственных продуктов, производство которых требует… (22) (23)

Задания к лабораторной работе № 2.

 

Задача 1.

Таблица 4 Год Количество свинины на душу населения Потребительская цена, пересчитанная с учетом индекса цен Доход…   Таблица 5 Y – логарифм количества X1 – логарифм цены X2 – логарифм прибыли X3 -…

Задача 2.

По данным задачи 1 найти зависимость спроса на свинину только от цены и прибыли, не учитывая фактор времени.

Задача 3.

Для попытки устранения автокорреляции решить задачу 2 путем переменных по их первым разницам:

Уравнение регрессии при этом преобразовании будет иметь вид:

Задача 4.

По данным задачи 1 проследить зависимость спроса на свинину:

а) только от цены и тенденции времени;

б) только от цены.

 

Задача 5.

Таблица 6 Данные для оценки зависимости спроса на свинину от цены на говядину …  

Задача 6.

1. Исходя из данных примера 2 и задачи 1 постройте систему однопериодных структурных уравнений, определите идентифицированность каждого уравнения.

2. Выведите из структурной системы уравнение приведенной формы.

3. Дайте определение рекурсивности. Объясните, как это свойство связано с проблемой идентификации.

 

Задача 7.

М – предложение денег включает наличные деньги и вклады небанковского частного сектора; r1 – текущая среднегодовая процентная прибыль от времени покупки до времени… r2 – процентная ставка по краткосрочным государственным обязательствам (по векселям).

МОДУЛЬ 3.

Применение регрессионного анализа в ходе принятия решения

Проблема изучения взаимосвязей экономических показателей является одной из важнейших проблем экономического анализа. Так, в рыночной экономике… Изучение зависимостей экономических переменных начнем со случая, если… Постановка задачи.Пусть предприятие рассматривает возможность увеличения сметы на рекламу конкретной продукции, с…

Методические указания.

Рис.1 – Диалоговое окно Регрессия  

Задания к лабораторной работе № 3.

Множественный регрессионный анализ

1. Найти оценки параметров методом 1МНК. 2. Найти ковариационную матрицу. 3. Вычислить стандартные ошибки оценок параметров.

МОДУЛЬ 4

  План  

Статистическая проверка производственной функции и её параметров

Производственная функция и её параметры могут иметь погрешности, которые обусловлены особенностями моделирования. Поэтому оценим надежность… Как приближенную оценку надежности производственной функции можно использовать… Коэффициент детерминации (R) свидетельствует о том, что приблизительно 88% колебаний производительности труда…

Экономические характеристики производственной функции и её использование в управлении производством.

Чтобы показать методику использования производственной функции в анализе использования ресурсов, будем базироваться на функции (2). Х1=-114711.9+2692.06 Х2+9826.04 Х4 Эта функция вероятна в целом и имеет лишь один параметр а4 недостоверным. На данном этапе проигнорируем этот факт и…

Особенности расчета и использования экономических характеристик степенной производственной функции

Выше мы рассмотрели методы построения линейной функции и использования её характеристик в экономическом анализе и управлении. но наряду с линейными… Рассмотрим производственную функцию, которая рассчитана для группы свиней… Эта производственная функция характеризует зависимость между приростом свиней, количеством скормленной кукурузы и…

Лабораторная работа № 4.

где Tc- индекс снижения себестоимости продукции Tn- индекс изменения производительности труда в расчете на одного работающего

Лабораторная работа № 5

На основании данных таб. 4-6 в разрезе цехов основного производства машиностроительного завода необходимо: 1. Проследить однородность выходной совокупности наблюдений и выбрать… 2. Построить производственную функцию.

Лабораторная работа № 6.

2. Определить значимость функций и выбрать одну функцию для следующего анализа. 3. Провести анализ производственной функции.  

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

• систематическое посещение лекций, практических занятий и проведения конспекта лекций: • систематическое изучение лекционного материала и содержания учебной… • подготовку к практическим занятиям:

Индивидуальная работа студентов

Индивидуальное практическое задание— одна из основных форм самостоятельной работы студентов. Цель индивидуальных практических заданий заключается в… Выполнение индивидуального практического задания дает возможность студенту… Подготовка индивидуального практического задания включает такие этапы: выбор темы, подбор законодательных актов,…

ЗАДАНИЕ 1.

Даны коэффициенты прямых затрат (матрица А) и конечное потребление (У) для трехотраслевой экономики.

Требуется определить:

1. коэффициенты полных затрат;

2. вектор валового выпуска;

3. межотраслевые поставки продукции;

4. заполнить схему межотраслевого баланса вида:

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
Условно чистая продукция
Валовой продукт

 

Ответить на вопросы:

1. Как цели производства и распределения, свойственные обществу, выражаются в межотраслевых балансах?

2. Пусть отрасль 1 – производство гвоздей и шурупов, отрасль 2 – машиностроение, отрасль 3 – производство мебели, отрасль 4 – строительство. Дайте экономическую интерпретацию распределения всей годовая продукция отрасли 1, запишите 1-ю строку МОБ.

3. Пусть отрасль 2 – машиностроение, отрасль 8 – металлургия, отрасль 9 – производство пластмасс, отрасль 10 – деревообрабатывающая промышленность, отрасль 11 – электронная промышленность. Покажите структуру затрат на производство продукции машиностроения (прямые материальные затраты и условно-чистая продукция) в текущем году, запишите 2-й столбец МОБ.

4. Ответить на индивидуальный вопрос.

 

Вариант 1

Дать понятие межотраслевого баланса, его связь с валовым национальным продуктом.

Вариант 2

Определить суть метода “затраты–выпуск”

Вариант 3

Дать понятие коэффициентов прямых затрат

Вариант 4

Дать понятие линейной зависимости между затратами на производство и выпуском продукции; формулы их исчисления.

Вариант 5

Дать понятие матрицы коэффициентов прямых затрат

Вариант 6

Дать понятие коэффициентов полных затрат: определение затрат на производство данного продукта косвенно через другие продукты (косвенные затраты).

Вариант 7

Дать понятие: матрица коэффициентов полных затрат и определить формулы исчисления.

Вариант 8

Дать понятие: чистая отрасль.

Вариант 9

Основные предпосылки экономико-математической модели статического межотраслевого баланса

Вариант 10

Определить отличия динамических межотраслевых балансов от статических.

Вариант 11

Дать понятие межотраслевого баланса, его связь с валовым национальным продуктом.

Вариант 12

Определить суть метода “затраты–выпуск”

Вариант 13

Дать понятие коэффициентов прямых затрат

Вариант 14

Дать понятие линейной зависимости между затратами на производство и выпуском продукции; формулы их исчисления.

Вариант 15

Дать понятие матрицы коэффициентов прямых затрат

 

Вариант 16

Дать понятие коэффициентов полных затрат: определение затрат на производство данного продукта косвенно через другие продукты (косвенные затраты).

Вариант 17

Дать понятие: матрица коэффициентов полных затрат и определить формулы исчисления.

Вариант 18

Дать понятие: чистая отрасль.

Вариант 19

Основные предпосылки экономико-математической модели статического межотраслевого баланса

Вариант 20

Определить отличия динамических межотраслевых балансов от статических.

 

ЗАДАНИЕ 2. Производная, эластичность, суммарная функция

 

Вычислите производную (предельную функцию), эластичность, суммарную функцию (интеграл) для функции N(x)=100/x. В данном примере можно интерпретировать х как цену товара, а N(x) - как спрос, предельную функцию - как прирост спроса при росте цены на 1 рубль (здесь отрицательный), а эластичность показывает, на сколько процентов изменится спрос при росте цены на 1%. Суммарную функцию здесь можно интерпретировать как сумму продаж за х дней при ежедневном росте цен на 1 рубль.

Задайте диапазон х 10…30, вычислите N(x), производную dN/dx = (B7-B6)/(A7-A6) - в данном случае. Эластичность Е=(DN/N)/( Dx /x), в качестве N и x возьмем их средние значения, тогда E=C6/(B6+B7)*(A6+A7). Суммарная функция формируется добавлением первого значения спроса к начальному значению (здесь 0): =E7+E6, а затем - добавлением следующих значений спроса к предыдущим значениям суммы (копирование формулы вниз). При правильном вычислении интеграла следует брать средние значения N по двум соседним точкам и домножать их на Dx.

	A	B	C	D	E
	Цена x	N	dN/dx	Эластичность	Сумм.функция
			-0,90909	-1
		9,090909	-0,75758	-1
		8,333333	-0,64103	-1	19,09090909
		7,692308	-0,54945	-1	27,42424242
		7,142857	-0,47619	-1	35,11655012
		6,666667	-0,41667	-1	42,25940726
		6,25	-0,36765	-1	48,92607393
		5,882353	-0,3268	-1	55,17607393
		5,555556	-0,2924	-1	61,05842687
		5,263158	-0,26316	-1	66,61398242
			-0,2381	-1	71,87714032
		4,761905	-0,21645	-1	76,87714032
		4,545455	-0,19763	-1	81,63904508
		4,347826	-0,18116	-1	86,18449962
		4,166667	-0,16667	-1	90,53232571
			-0,15385	-1	94,69899238
		3,846154	-0,14245	-1	98,69899238
		3,703704	-0,13228	-1	102,5451462
		3,571429	-0,12315	-1	106,2488499
		3,448276	-0,11494	-1	109,8202785
		3,333333	-3,33333		113,2685544

Постройте графики N(x), dN/dx, эластичности и суммарной функции.

 

ЗАДАНИЕ 3.Математическое программирование. Планирование закупок

 

Основная цель планирования любой деятельности - получение максимального результата (прибыли, объема производства и т.п.) при имеющихся ограничениях. Разработке оптимальных программ-планов посвящен раздел математики под названием “математическое программирование”, в частном случае - “линейное программирование”. Стандартная формулировка задачи математического программирования: изменяя значения аргументов, требуется найти минимум или максимум зависящей от них целевой функции, наиболее полно характеризующей эффективность производства или закупок, при наложенных ограничениях-равенствах и ограничениях-неравенствах. Допустимое решение, отвечающее этим условиям, называется оптимальным планом. Его может не существовать, если наложенные ограничения противоречивы, а иногда может существовать множество решений. В задачах линейного программирования целевая функция и функции в ограничениях - линейные.

Для решения задач линейного программирования используются различные методы (Ньютона, наискорейшего спуска, симплекс-метод), общий принцип которых таков: выбирается неоптимальный опорный план (аналогично приблизительным значениям X, Y, Z в Лаб. №2) и его параметры варьируются с целью последовательного улучшения плана, то есть оптимизации целевой функции при соблюдении всех ограничений, с использованием сервиса Поиск решения, что дает возможность решать оптимизационные задачи, не вникая в сложную математику.

Предлагаемое упражнение является предельно упрощенным вариантом реальной задачи по составлению рациона для животных, которую можно сформулировать следующим образом: заданы нормы потребления различных компонент - жиров, белков и т.д. (в экономической интерпретации - благ) и их содержания в различных видах кормов, а также цены кормов. Требуется составить план закупки кормов, обеспечивающий минимальную стоимость рациона при потреблении благ не меньше норм. Для решения задачи требуется внести в таблицы Excel нормы, содержания компонент в кормах, цены кормов, а также опорный план - произвольные значения масс закупаемых кормов. Содержания компонент домножаем на массы кормов и суммируем по компонентам, получая их суммарные количества (сколько всего съедено жиров, белков и т.д.), которые в ограничениях Поиска решения устанавливаются больше или равными нормам. Домножаем цены кормов на их количества, суммируем произведения и получаем стоимость закупки - целевую функцию, для которой в Поиске решения задаем минимизацию. Изменяемые ячейки - массы закупаемых кормов, на них накладывается глобальное ограничение - требование неотрицательности. Все числа в данном примере - условные.

Составьте рацион для коровы из 4 видов кормов, содержащих 4 компонента (жиры, белки, углеводы, витамины), имеющий минимальную стоимость:

· составьте таблицу по приведенному образцу; рацион (количество кормов) задайте произвольно;

· перемножьте содержание компонент в кормах и их цены на количество соответствующих кормов (используйте копирование формулы);

· просуммируйте результаты умножения по столбикам (результаты – сколько всего компонент будет съедено и сколько это стоит);

· вызовите Сервис – Поиск решения;

· задайте Целевую ячейку с суммарной стоимостью (здесь F18), цель – Минимальное значение,

· Изменяя ячейки с количеством кормов (здесь G8:G11),

· Ограничения Добавить : суммарное потребление компонент должно быть не меньше норм (здесь B16:E16 ³ B6:E6) и количество кормов не может быть отрицательным (здесь G8:G11 ³ 0);

· ознакомьтесь с Параметрами и нажмите Выполнить.

	A	B	C	D	E	F	G
		жиры	белки	углеводы	витамины	цена	количество
	нормы
	Корма
	Сено
	Овес
	Ячмень
	Силос
	Сено	=B8*$G8
	Овес
	Ячмень
	Силос
	Сумма	=S(B13:B16)					Целевая

Применим данную технологию для изучения функции потребительского предпочтения, называемой также функцией Р.Стоуна

 

U(x)=П(x_i - a_i)^ a_i

 

где a_i - минимально необходимое количество i - го блага, которое приобретается в любом случае (в данном случае - нормы),

a_i характеризует степень важности блага.

Применительно к данной задаче функция Стоуна характеризует качество молока, и мы можем минимизировать стоимость рациона при заданном качестве молока или максимизировать качество при заданной стоимости. Для этого зададим a_i и вычислим функцию Стоуна, которую используем в качестве дополнительного ограничения. Целесообразно в выражение в скобках добавить очень малое число, например 10^-7, чтобы избежать отрицательных чисел, которые могут возникнуть из-за погрешности расчетов при вычитании равных величин.

	жиры	белки	углеводы	витамины
ai	0,3	0,3	0,15	0,25		Качество
(Si -норма i)^a i	4,761711	3,265933	2,245139	2,864089

Здесь приведены числа после решения задачи минимизации стоимости рациона при соблюдении норм и обеспечении качества 100.

Без изменения таблиц можно решить другую задачу - максимизировать функцию Стоуна, объявив ее целевой ячейкой, при заданной стоимости рациона, которая становится ограничением.

 

ЗАДАНИЕ 4.Планирование перевозок

Составьте оптимальный план перевозок бетонных блоков с трех заводов на четыре стройки. Считаем, что за один рейс машина перевозит один бетонный блок. Задайте мощности заводов, потребности строек и расстояния между заводами и стройками. Холостые пробеги, состояние дорог и прочие факторы не учитываются, что не влияет на общие принципы постановки задачи и ее решения. Последовательность решения задачи:

Создайте таблицы:

- расстояния между заводами и стройками,

- потребности строек (строка),

- мощности заводов (столбец)

- первоначальный план перевозок - количество рейсов с i-го завода на j-ю стройку:

 

Ячейка	C	D	E	F	I	J
	Р а с с т о я н и я км
		Стройка1	Стройка2	Стройка3	Стройка4	Планы заводов
	Завод 1
	Завод 2
	Завод 3
	Потребности строек					S (D8:I8)=S(J5:J7)
	План перевозок (число рейсов с заводов на стройки)	Вывезено с заводов
	Завод 1					=CУММА(D9:I9)
	Завод 2					=CУММА(D10:I10)
	Завод 3					=CУММА(D11:I11)
	Завезено на стройки	S(D10: D12)	S(E10: E12)	S(F10: F12)	S(I10: I12)	Целевая:
		Число рейсов * расстояния	Cуммарный
	Завод 1	=D10*D5				пробег
	Завод 2	Скопируйте формулу на всю таблицу	всех машин
	Завод 3					=СУММА(D14:I16)

 

Суммарная потребность всех строек должна совпадать с суммарной мощностью всех заводов.

- Запустите Сервис - Поиск решения и заполните окна появившейся экранной формы. Целевая ячейка в данном случае - J17, в которой находится суммарный пробег машин со всех заводов на все стройки, и значение в которой надо сделать минимальным (или заданным, если надо “нагнать” план по километражу). Изменять можно ячейки D10 - I12 (план перевозок) при условии равенства мощностей заводов и потребностей строек, то есть ячеек J10 - J12 и D13 - I13 значениям, заданным в J5 - J7 и D8 - I8. Кроме того, следует задать условие, что количества рейсов - величины положительные и целые. Запустите выполнение программы (Выполнить).

 

ЗАДАНИЕ 5. Выбор оптимального пути в транспортной сети

Транспортная сеть состоит из n узлов (будем называть их также пунктами или городами), некоторые из которых соединены магистралями. Стоимость проезда по каждой из таких магистралей известна и отмечена на схеме. Найти оптимальный маршрут проезда из 1-го пункта в n-ый. В данном примере целевая функция - суммарная стоимость проезда - нелинейная, а область допустимых решений является дискретным множеством - набором единиц и нулей, означающих проезд из одного города в другой или отказ от проезда.

Пусть сеть состоит из 10 узлов, соединённых магистралями согласно схеме:

5 6

10 9

7 6 3

1 8 8 4 10

6 11

9 5

 

Стоимость проезда из пункта i в пункт k равна R_ik , и элементы этой матрицы приведены на схеме.

Требуется найти оптимальный маршрут из 1-ого пункта в 10-ый.

Внесите стоимости проезда (расстояния) R_ik в таблицу Excel и задайте опорный план поездки X_ik, который в данном случае представляет из себя матрицу из единиц и нулей, соответствующих перемещению или не перемещению из одного пункта в другой. В отличие от предыдущего примера, здесь не задаются стоимости проезда (расстояния) между пунктами, дорога между которыми проходит через промежуточный пункт, и используется только часть матрицы выше главной диагонали, что позволяет резко сократить количество изменяемых ячеек, т.е. упростить и ускорить решение задачи. Для удобства настройки Поиска решения создайте дополнительную таблицу План поездки Xik в компактном виде, из которой копируются значения в зависимые от нее ячейки таблицы План поездки Xik. В ячейки таблицы План поездки Xik внесите формулы, связывающие ее с таблицей План поездки Xik в компактном виде. Просуммируйте строки и столбцы таблицы План поездки Xik ; ненулевое значение в сумме по строке означает выезд из соответствующего пункта (из п.1 - обязательно); ненулевое значение в сумме по столбцу означает приезд в соответствующий пункт (в п.10 - обязательно). Приезд в какой-либо пункт, кроме п.10, требует обязательного выезда из него, т.е. соответствия сумм по столбцам суммам по строкам. Перемножьте таблицу стоимостей на План поездки Xik и вычислите целевую функцию как сумму по таблице произведений Rik * Xik (аналогично Лаб. №4).

Запустите Поиск решения и установите Целевую ячейку

Сумма Rik * Xik, Изменяя ячейки - План поездки Xik в компактном виде, Ограничения: План поездки Xik в компактном виде ≤ 1, ≥ 0, целые; суммы по строкам таблицы План поездки (выезд), начиная со второй (с п.2) должны равняться суммам по столбцам (приезд), исключая последнее значение (п.10). Суммы по первой строке (выезд из п.1) и последнему столбцу (приезд в п.10) должны равняться 1. Установите флажок Показывать результаты итераций в меню Параметры и запустите Выполнить.

 

Стоимость проезда (расстояния) Rik

куда

откуда

 

План поездки Xik в компактном виде

	B	C	D	E	F	G	H	I	J
	1	1	1	1	1	1	1	1
				1		1	1	1	1

 

План поездки Xik суммы по

куда строкам:

откуда										выезд
	=B16	=C16	=D16
				=E16
				=E17
					=F16
						=G16	=H16
						=G17	=H17	=I16
									=I17
									=J16
									=J17

Приезд: суммы по столбцам

 

 

Rik * Xik

Целевая:

Sum Rik * Xik

=

 

В результате выполнения программы получаем:

План поездки Xik

откуда										выезд

Приезд: суммы по столбцам

 

Оптимальный план поездки: пункты 1 => 4 => 6 => 8 => 10.

Приезд в город становится обязательным, если введено дополнительное ограничение - равенство 1 суммы по соответствующему столбцу таблицы План поездки. Если необходимо сделать обязательным приезд в один из группы городов - вычислите сумму по ячейкам приезда в эти города и введите ограничение: равенство этой суммы единице.

 

ЗАДАНИЕ 6. Оптимальное распределение ресурсов между отраслями на N лет

 

При вложениях Х1 и Х2 отрасли дают прибыль 0,6*Х₁ и 0,5*Х₂, кроме того они дают средства для реинвестирования с перераспределением в конце каждого года, равные 0,7*Х₁ и 0,8*Х₂. Сумма инвестиций за первый год равна 10000 у.е. Требуется составить план вложений средств на 5 лет с целью получения максимальной суммарной прибыли. Заполните таблицу с произвольным опорным планом:

 

	B	C	D	E	F	G	H	I	J
	Год	Вложено		Прибыль	Возврат
				Всего	Возврат
				=C4+D4		=0,6*C4	=0,5*D4	=0,7*C4	=0,8*D4
					=I4+J4	1,2		1,4	1,6
						1,2		1,4	1,6
						1,2		1,4	1,6
						1,2		1,4	1,6
		Опорный	план		Целевая: сумм.прибыль S(G4:H8)

Запустите Поиск решения с суммарной прибылью в качестве целевой ячейки, которую надо максимизировать, изменяя план вложений (здесь C4:D8), при ограничениях: вложения ³ 0, вложения в обе отрасли за первый год равны 10000, в последующие годы - возврату за предыдущий год (E4:E8=F4:F8). Ниже представлены результаты расчетов.

 

	B	C	D	E	F	G	H	I	J
	Год	Вложено		Прибыль	Возврат
				Всего	Возврат
						2150,4		2508,8
					Целевая: сумм.прибыль
						17422,4

 

 

ЗАДАНИЕ 7.Оптимизация сетевого графика плана комплекса работ

Задача сетевого планирования - построение рационального плана проведения сложного комплекса работ, состоящего из отдельных элементарных взаимно обусловленных работ, т.е. выполнение некоторых работ нельзя начать раньше, чем будут завершены другие, опорные работы. При составлении сетевого графика используется структурная таблица комплекса работ, содержащая перечень элементарных работ комплекса, перечень работ, на которые опираются элементарные работы и время выполнения каждой работы. Метод сетевого планирования позволяет на основе этой информации указать сроки начала каждой работы комплекса, вычислить время, необходимое для выполнения всего комплекса работ, выявить работы, его определяющие - критические, а также провести оптимизацию плана путем перераспределения средств и, соответственно, сроков выполнения работ.

 

а2 а5

 

а1 а4 а8

а3 а6 а7

Оптимизация плана комплекса работ может быть проведена после нахождения критических работ и резервов, содержащихся в некритических работах. Далее рассмотрены два варианта сокращения критического пути: с вложением дополнительных средств в критические работы и с перераспределением средств между критическими и некритическими работами без изменения их суммы. Предполагается, что время i- й работы t_i' изменяется по закону t_i нов = t_i * (1-b_i * x_i) в зависимости от дополнительных вложений (или изъятий) x_i £ c_i. В первом варианте минимизируется целевая функция - сумма дополнительных вложений в критические работы, при ограничениях: t_крит =40, все 0£ x_i £ c_i. Во втором варианте минимизируемая целевая функция t_крит при ограничениях -c_i £ x_i £ c_i и S x_i = 0. Обратите внимание на то, что в обоих вариантах не организована проверка на превращение некритических путей в критические. При реальном планировании это надо учитывать.

Вариант 1 Вариант 2

Работа	Опорные работы	t	Sum t	b	c	x	t нов		x	t нов	-c
a1				0,2							-2
a2				0,1					-3		-3
a3				0,2					-1	9,6	-1
a4	a1,a2			0,3		1,666667	9,999999				-2
a5	a1,a2,a3			0,4					-1		-1
a6	a1,a2,a3			0,1					-2		-2
a7	a6			0,3					-2		-4
a8	a4,a5,a7			0,1							-5
					Целевая Sxi	1,666667		Sxi
					Критич.путь a1+a4+a8			Критич.путь

 

ЗАДАНИЕ 8.Оптимизация вложения средств в N предприятий

В данном примере показано применение функции Поиск решения при нелинейной зависимости результатов от инвестиций и дискретном множестве значений аргументов (здесь - инвестиций), т.е. аргументы могут принимать значения из ограниченного набора. Обычно такие задачи решаются с помощью функций и уравнений Беллмана.

Требуется оптимизировать вложение ограниченных ресурсов в N предприятий с целью получения максимальной прибыли. Прибыль, получаемая каждым предприятием, зависит от вложенных ресурсов нелинейно, и эта зависимость задается таблично, т.е. величины вложений представляют собой дискретное множество. В данном примере требуется разделить 5 млн. руб. между 4 предприятиями. Прибыль f_ik k -го предприятия в зависимости от вложения x_i задается таблично. План a_ik должен представлять собой матрицу единиц и нулей, при этом 1 означает вложение x_i в k-е предприятие. Задайте опорный план a_ik, состоящий из одинаковых чисел, например единиц. Сформируйте целевую функцию - сумму f_ik*a_ik. Сформируйте таблицу произведений x_i*a_ik, сумма которых равна суммарным затратам. (Не забудьте поставить символ $ перед номером столбца Х). Вызовите Поиск решения и задайте целевую ячейку Sum(f_ik*a_ik) и ограничения: все a_ik целые и 0£ a_ik £1, все S_k a_ik £1, Sum(x_i*a_ik) =5.

 

x	f1	f2	f3	f4
	Опорный план aik			Ограничения	xi* aik	- инвестиции
					³0
					£1
					Цел.
Sk aik					£1
	fik * aik						Sum(xi*aik)
							Ограничение	=5
							Целевая
							Sum(fik*aik)

В результате выполнения Поиска решения должны получиться результаты:

x	f1	f2	f3	f4
	план aik			Ограничения	xi* aik	- инвестиции
					³0
					£1
					Цел.
Sk aik					£1
	fik * aik	дохо	ды				Sum(xi*aik)
							Ограничение	=5
							Целевая
							Sum(fik*aik)		доход

Надо вкладывать по 1 млн.р. в предприятия №1, 2, 4 и 2 млн.р. в №3.

На этом примере можно изучать особенности нелинейного программирования, в частности - зависимость решения от опорного плана. Используя найденное решение в качестве опорного плана, измените f₄₃ на большое число, например 500 (вложить 4 млн.р. в предприятие 3 и получить прибыль 500, т.е. сделать это вложение очевидно выгодным). Но после запуска Поиска решения вы увидите старое решение, т.е. компьютер не может преодолеть какую-то "горку" в пространстве решений. Только после замены опорного плана на матрицу одинаковых чисел компьютер выдает правильное решение.

 

ЗАДАНИЕ 9.Задача выбора стратегии обновления оборудования

Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: станков, автомобилей, компьютеров и др. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются либо доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию (задача минимизации) в течение планируемого периода. Рассмотрим пример:

Новое оборудование стоит р₀=4000 р., его ликвидная стоимость убывает по закону р= р_0*2^-t , где t - возраст в годах, затраты на годовую эксплуатацию r(t) = 600*(t+1). Через сколько лет надо заменять оборудование, т.е. продавать старое и покупать новое? В данном примере целевая функция нелинейная, а оборудование можно заменять только в конце года, т.е. область допустимых решений является дискретным множеством.

В таблице план замены оборудования представлен в виде единиц и нулей, что означает замену оборудования в конце года или продолжение эксплуатации. Стоимость эксплуатации за первый год равна 600, ликвидная стоимость (Цена) 4000/2 = 2000. В последующие годы, начиная со второго, стоимость эксплуатации вычисляем по формуле =ЕСЛИ(G5<0,1;600;600+B5), Цена =ЕСЛИ(G5<0,1;C5/2;2000). Стоимость продажи (Продажа) равна Цене или нулю в зависимости от Плана. Покупка = 4000*План, Покупка последнего года равна нулю. Целевую ячейку формируют затраты на эксплуатацию и покупку, а также доходы от продаж: S r(t) + S p₀(t) - S p(t) . Ограничения на План: 0£ План £1, целые.

	A	B	C	D	E	F	G
	Год	Эксплуат.	Цена		Продажа	Покупка	План
						Sp0(t)=
	S r(t)=			S p(t)=
			Сумм.	затраты

После выполнения Поиска решения получаем

 

	A	B	C	D	E	F	G
	Год	Эксплуат.	Цена		Продажа	Покупка	План
						Sp0(t)=
	S r(t)=			S p(t)=
			Сумм.	затраты

 

Задача является нелинейной, и ее успешное решение зависит от опорного плана. Попробуйте ее решить, используя различные опорные планы.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Введение в экономическую кибернетику - М.: Прогресс, 1968. - 208 с.

2. Кобринский Н.Е. Введение в экономическую кибернетику - М: Экономика, 1975.-284 с.

3. Кобринскнй H.F. и :др. Экономическая кибернетика - М : Экономика, 1982. -407 с.

4. Мэнеску М. Экономическая кибернетика - М.: Экономика, 1986. - 318 с.

5. Математика и кибернетика в экономике. Словарь - справочник .- М. Экономика, 1975. - 700 с.

6. Терехов Л.Л. Кибернетика для экономистов - М.: Финансы и статистика 1983 .- 191 с.

7. Экономическая кибернетика: Сборник задач / Е.Б. Бухарова, Н.Г Шишацкий, В.П. Зуев - Красноярск: Издательство Красноярского гос университета, 1988 - 84 с.

8. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2005.

9. Семенов Г.В. Лекции по экономической кибернетике .- Изд-во Казанского унив-та, 1990.- 105 с.

10. Алдохин И.П, Экономическая кибернетика в управлении производством .-Харьков, ВШ, 1981.-150с.

11. Алдохин И.П., Кулиш С.А. Экономическая кибернетика .- Харьков: ХГУ. 1983 .-222 с.

12. Аллен Р. Математическая экономия/Пер. с англ. Под ред. Вайнштейна А. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 598 с.

13. Ланкастер К. Математическая экономика - М.: Советское радио, 1972. – 286 с.

14. Математическая экономика на персональном компьютере /М.Кубонива и др. - М.: Финансы и статистика, 1991. - 304 с.

15. Утеуш Э.В., Утеуш З.В. Введение в кибернетическое моделирование.- М.: Энергия, 1971.- 184 с.

16. Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели М. Радио и связь 1982 .- 152 с.

17. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. - М.: Мир, 1991. - 180 с.

18. Петраков И.Я. Кибернетические проблемы управления экономикой м., Наука, 1974.-161 с

19. Управление экономикой: Основные понятия и категории: (Словарь - справочник).- Белоусов Р.А. и др.- М.: Экономика, 1986. - 302 с.

20. Сытник В.Ф. и др. Математические модели в планировании и управлении предприятиями .- К. ВШ, 1985. - 214 с.

21. Экономико-математическое моделирование. Под редакцией Дрогобыцкого И.Н. М.: Экзамен, 2004, 2006.

22. Экономико-математические модели в организации и планировании промышленных предприятий .- Л. ЛГУ 1982. - 335 с.

23. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций, 6-е изд.: Пер. с англ. -М.: Издательский дом «Вильяме», 2001. - 912 с.