Функции спроса.

Спрос на i-ое благо является функцией от цен и дохода:

(1)

где q_i – спрос на продукт і;

Р₁,Р₂,…,Р_n – цены на продукты в положении рыночного равновесия;

М – доход потребителей.

Пропорциональное изменение цен и доходов не изменяет спрос, т.е. для любого достаточного числа Р выполняется зависимость:

(2)

где Р – индекс цен.

Коэффициентом эластичности функции (1) называется величина, полученная в результате деления относительного прироста функции на относительный прирост аргумента. Можно вычислять эластичность по ценам и доходам.

; i,j = 1,2,…,n . (3)

; i = 1,2,…,n. (4)

Величины E_ij показывают, на сколько процентов изменится спрос на і-ый продукт, если при других неизменных условиях цена на j-ый продукт изменится на 1%. При i=j величины E_ij называются коэффициентами эластичности по ценам, если i¹j – перекрестными коэффициентами эластичности.

Эластичность блага, по отношению к собственной цене, является отрицательной величиной (E_ii<0), т.е. когда цена на нее увеличивается, то спрос на благо уменьшается. Если E_ij<0, то считают, что продукты i и j взаимодополняют друг друга. При E_ij>0 продукты i и j взаимозаменяемые; если E_ij=0, то продукты i и j независимые.

Между эластичностью по ценам и доходу существует соотношение

(5)

Наиболее распространены на практике два типа функций спроса:

линейная , (6)

и показательная или линейно-логарифмическая

, т.е.

(7)

В формулах (6), (7) параметры a, b и С являются константами.

 

Пример 1. Рассмотрим спрос на масло как функцию от цены и дохода потребителей по данным наблюдений за 18 лет.

Таблица 1

Выходные данные примера 1.

Год	Количество потребления масла на душу населения (кг)	Цена потребителя за 1 кг (условная денежная единица), пересчитанная с учетом индекса цен	Доход на душу населения (условная денежная единица), пересчитанный с учетом индекса цен
	5,46	3,53
	5,73	3,64
	5,58	3,75
	5,87	3,71
	5,12	3,74
…	…	…	…
	5,80	3,92

 

Пусть эта функция линейно-логарифмическая (7). Обозначим в уравнении регрессии (7):

Y – логарифм от количества потребления масла;

X₁ – логарифм от цены;

X₂ – логарифм от дохода;

b₁ – эластичность по цене;

b₂ – эластичность по доходу;

u – случайная переменная.

(8)

Параметры этой зависимости оцениваем методом наименьших квадратов. Воспользуемся упрощенной записью системы нормальных уравнений, которая использует простые и смешанные моменты второго порядка относительно 2-х переменных X_j и Y:

(9)

где ;

.

Вычисленные значения моментов m_jj и m_Yj равны:

m_YY=0,00152; m_Y1=0,00062; m_Y2=0,00257;

m₁₁=0,00113; m₁₂=0,00323;

m₂₂=0,00996.

Подставим полученные значения в систему (9):

Решение системы найдем методом обратной матрицы. Для упрощения расчетов умножим все коэффициенты на 100.

Матрица системы

.

Обратная матрица

.

Отсюда

.

Постоянный коэффициент а₀ рассчитываем при условии, что уравнение регрессии должно пройти через среднее арифметическое всех переменных:

.

0,76013 = а₀ – (2,58681) × (0,56974) + (1,09693) × (3,05840);

а₀ = -1,12091.

Уравнение регрессии имеет такой вид:

Y = -1,12901 – 2,58681X₁ + 1,09693X₂ .

Этот результат имеет такой смысл: если допущения статистического анализа выполняются, то на каждый процент повышения цены на масло, при всех других неизменных условиях, спрос на масло снизится на 2,6%. Если при тех же условиях существующий доход повысится на 1%, то спрос на масло повысится на 1,1%.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Следовательно 80% дисперсии зависимой переменной Y можно объяснить колебаниями переменных Х₁ и Х₂.

Для проверки нулевой гипотезы, что ни одна из независимых переменных Х₁ и Х₂ не связана линейно с зависимой переменной Y, воспользуемся F критерием.

.

Табличное значение F, которое отвечает К-1=2 и N-K=5 степеням свободы и уровню табл. существенности 0,95, равно 3,68, т.е. значительно меньше эмпирического. Нулевую гипотезу можно отвергнуть.

Для определения надежности коэффициентов регрессии рассчитаем t –статистики по формуле:

,

где S - стандартная погрешность оценки уравнения:

С_ii – диагональные коэффициенты обратной матрицы А­­­^­­-1, которая была рассчитана выше.

Для проверки b_i вычисляем:

,

.

Величины t₁ и t₂ имеют распределение Стьюдента с N-K=18-3=15 степенями свободы при уровне значимости 0,95. Их эмпирические значения превышают табличные (2,131), т.е. оценки b₁ и b₂ значимые. Рассчитаем интервальные оценки для b₁ и b₂ :

 

;

доверительный интервал для b₁ составляет:

(-6,11441; 0,940079).

Для b₂

Отсюда доверительный интервал для b₂ (+2,28512; -0,09126).

Введем теперь тенденцию перемены во времени по форме показательной зависимости (Х₃ - время); уравнение регрессии будет:

Y = 0,12825 – 2,25498X₁ + 0,61624X₂ + 0,00912X₃.

Этот результат следует понимать так: если при других неизменных условиях (особенно при постоянной прибыли) цена масла повысится на 1%,то спрос на масло уменьшится почти на 2,25%. Если при тех же допущениях (особенно неизменных ценах) повысится на 1%прибыль, то спрос на масло повысится приблизительно на 0,6%.

Коэффициент в уравнении регрессии при Х₃ (0,00912) показывает тенденцию. Уравнение регрессии можно потенцианировать

где Y¢, X¢₁, X¢₂ – антилогарифмы Y, X₁, X_2.

Тенденция отвечает ежегодному увеличению спроса на масло приблизительно на 2%.

Статистическая проверка показывает, что коэффициент множественной регрессии и индивидуальные коэффициенты регрессии значимы при уровне значимости 0,95.