Язык логики высказываний - раздел Информатика, Статистики и информатики Логика Высказываний (Пропозициональная Логика) – Это Раз...
Логика высказываний (пропозициональная логика) – это раздел логики, изучающий способы построения и логическую структуру высказываний, отношения между ними и выводы, полученные с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания и т.д. Часто в логике это обозначается КЛВ – классическая логика высказываний. Алфавит логики высказываний включает в себя четыре вида символов:
1) пропозициональные переменные – p, q, r, s, ...
2) пропозициональные связки – Ø, &, Ú, Ú, É, º
3) скобки – ( … )
4)запятая -,
Пропозициональные переменные замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет снег» можно обозначить символом p, высказывание «метет метель» – символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. К ним относятся:
Ø – отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)
& – конъюнкция («и», «а», «но», «хотя», и т.п.)
Ú – дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)
Ú – строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)
É – импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)
º – эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)
Формулами в языке КЛВ называютзначимые выражения. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.
Определение формулы. (1) Пропозициональные переменные являются формулами. (2) Если Аи В – формулы, то ØА, А&В, АÚВ, АÚВ, АÉВ, АºВ – тоже формулы. (3) Ничто другое не является формулой.
Упражнение 1.Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:
а) p Ú Ø q & r É s & q Ú Ø p º Øs É q Ú r
б) p & q º r & s Ú q Ú Ø p É Øs Ú q & r
Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Иван-царевич любит Марью», q – «Марья любит Ивана-царевича», r – «Марья красивая», s – «Иван-царевич храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:
– «Иван-царевич храбрый и любит Марью» s & p
– «Неверно, что Марья некрасивая
или Иван-царевич ее не любит» Ø(Ør Ú Øp)
– «Если Марья красива, а Иван-царевич храбр,
то они любят друг друга» (r&s) É (p&q)
Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:
1) Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность – как 0.
2) Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.
Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей истинности:
p
q
Øp
p&q
pÚq
pÚq
pÉq
pºq
Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Иван-царевич и Марья любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p&q) É Ø(ØpÚØq).
Алгоритм построения таблицы истинности:
1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2n, где k – количество строк, а n – число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).
2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных[1].
3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).
p
q
Øp
Øq
p&q
ØpÚØq
Ø(ØpÚØq)
(p&q) É Ø(ØpÚØq)
В данной таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные – p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.
В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.
Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.
Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.
Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых – «0».
В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.
Упражнение 2. установите табличным способом, к каким видам относятся следующие формулы:
российской федерации... Московский государственный университет экономики статистики и информатики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Язык логики высказываний
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Становление логики и ее значение
Слово «логика» происходит от древнегреческого «lоgоz» что переводится как «разум», «мысль», «рассуждение». Логика является одной из самых древних наук на Земле. Она возникла как часть науки об орат
Предмет логики
В понятии «логика» в настоящее время выделяется несколько значений: объективная и субъективная логика. Если объективная логика изучает закономерности развития и взаимосвязи предметов и явлен
Понятие логической формы
Логика не только описывает различные приемы познания, но и формулирует критерии их правильности. Какие рассуждения можно считать правильными? Каким требованиям должны удовлетворять определение, воп
Логическое следование и логическая истинность
Одна из важнейших задач логики – определять, какие рассуждения являются правильными и почему. Сразу заметим, что нельзя смешивать вопрос о правильности рассуждения с вопросом об ист
Язык как знаковая система
Язык – это система знаков, предназначенная для фиксации, хранения, переработки и передачи информации.
Знак – это объект, используе
Смысл и значение знака. Виды знаков
Значением знака называется предмет, репрезентируемый данным знаком. Множество всех предметов, которые знак репрезентирует, называется его экстенсиона
Естественные и искусственные языки
Естественные языки возникли как средство общения между людьми. Их формирование и развитие представляет собой длительный исторический процесс и происходит в осно
Семантические принципы
Принцип однозначности: каждое имя должно иметь только одно значение (экстенсионал). С нарушением этого принципа связана ошибка, которую называют «под
Основные законы логики
Законом логики называется сложное логическое высказывание, истинность которого не зависит от составляющих его логических отношений. Они составляют основу мыслит
Аесть потому, что есть В
Всякая мысль может быть признана истинной только тогда, когда
она имеет достаточное основание. Например, «Это вещество
является электропроводным, потому что оно –
Oslash;(А Ú В) É ØА & ØВ
Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.
Например, «Неверно, что идет дождь или идет снег» означает «Сегодня нет дождя и нет снега».
9) За
Логико-семантические парадоксы
Естественный язык является самым необходимым инструментом человека в его интеллектуальной деятельности. Однако именно язык часто создает проблемы для тех, кто его использует. Эти пр
Какой принцип нарушен?
1. Рассуждение «Материя бесконечна. Мистеру N не хватило материи на штаны. Значит, его штаны больше, чем бесконечность» нарушает принцип
1. однозначности
2. предметности
Парадоксальные задачи
1. Экзаменатор говорит нерадивому студенту: «Угадайте, какую оценку я вам поставлю. Если угадаете, получите 3, если не угадаете – 2.» Однако ответ студента поставил преподавателя в тупик. Он не смо
Основные законы логики
1. Закон … утверждает, что противоречащие друг другу суждения не могут быть одновременно истинными.
a) тождества
b) непротиворечия
c) клавия
d) д
Общая характеристика понятий. Виды понятий
Понятие является одной из форм рациональной ступени процесса познания. Мышление, рассуждение всегда осуществляется с помощью языка, но мыслим мы всегда терминами, категориями, понятиями.
Виды понятий по объему
При выделении видов понятий нужно учитывать различные их особенности. Наиболее важными основаниями для деления понятий являются: (1) тип их объема, (2) тип элементов, входящих в их объемы, (3) тип
Виды понятий по типу элементов объема
По типу элементов объема понятия делятся на:
а) конкретные и абстрактные
– Конкретнымсчитается понятие, элементами объема к
Виды понятий по содержанию
По типу признаков понятия подразделяют на:
а) положительные и отрицательные
– Положительнымсчитается понятие, в котором предметы обобщаются на о
А В А ØA
Штриховкой на схемах обозначен результат применения соответствующих операций к классам А и В.
Пересечение объемов д
Отношения между понятиями по объему
Между понятиями существуют объективные, независящие от человека отношения. Прежде всего, это отношения сравнимости и несравнимости.
Два понятияaА(a)и
Обобщение и ограничение понятий
Помимо булевых операций, к понятиям часто применяются такие операции обобщение и ограничение. Они основаны на отношении типа «род-вид». Из двух непустых понятий одно с
Виды понятий
1. Конкретным называется понятие, объем которого состоит из
a) объектов или их классов
b) свойств или отношений
c) объектов или их свойств
d) кла
Определение и приемы, сходные с ним
Определение, дефиниция (от лат. «definitio» – уточнение границ) – это логическая процедура придания строго фиксированного смысла языковым выражениям.
У
Явные и неявные определения
Наиболее распространенный вид определений – явные определения. Определение называется явным, если и только если оно задается лингвистической конструкц
Реальные и номинальные определения
Помимо того, что все определения подразделяются на явные и неявные, контекстуальные и неконтекстуальные, их можно делить также на реальные и номинальные. При этом след
Правила определения
Для того, чтобы определения было логически правильными, они должны отвечать некоторым принципиальным требованиям, правилам.
1) Определение должно быть ясным. Это оз
Виды определений
1. Правило замены по дефиниции действует только для … определений
a) явных
b) неявных
c) контекстуальных
d) аксиоматических
2. Аксиомати
Ошибки в определении
1. Определение «Квадрат – это четырехугольник, диагональ которого является осью симметрии» является
a) правильным
b) слишком узким
c) слишком широким
d) перекрещ
Простые суждения и их виды
Суждение –это мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о каких-либо объектах, их свойствах и связях между ними. Как правило, суждения выражаются повествовательными
Сложные суждения и их виды
Суждения называются сложными, если в них можно выделить правильные части, которые в свою очередь являются суждениями. Сложные суждения образуются как из простых, так и из др
Отрицание суждения
Отрицание суждения – это логическая операция, при которой истинное суждение меняется на ложное, и наоборот.При этом, при отрицании атрибутивного суждения одновременно меняются
Отношения между суждениями
В процессе построения отношений между суждениями можно выделить сравнимые и несравнимые. Сравнимые суждения имеют общий субъект и предикат. Несравнимые суждения не име
IсубконтрарностьО
Рассмотрим эти отношения между суждениями с помощью логического квадрата. В отношении подчинения находятся суждения форм A и I, а также суждения E и O. Например, общеутвердительное су
Виды атрибутивных суждений
1. Установите соответствие между типами атрибутивных суждений и формулами, их выражающими.
(1) Все S есть Р (А) S a P
(2) Ни один S не есть P (В) S e P
(3) Некоторые S
Oslash;А
Таким образом, правильными являются умозаключения от утверждения антецедента (А) к утверждению консеквента (В)и от отрицания консеквента (&
На работе. Следовательно, на занятиях его не было».
Условно-разделительные (лемматические) умозаключения. Эти умозаключения содержат несколько импликативных и одну дизъюнктивную посылку. В дизъюнктивной посылке разделяются определенные вариан
Непосредственные умозаключения
Непосредственными называются умозаключения, в которых вывод делается из одной посылки. Несмотря на тривиальность, в практике аргументации таким выводам отводится очень важная р
P – ~S ~P – S ~P – ~S
противопоставление противопоставление противопоставление
субъекту предикату субъекту и предикату
Каждый из них может быть сведен к комбинации обращен
Простой категорический силлогизм
Как уже отмечалось силлогизмом называют умозаключение из более чем одной посылки. В таком расширительном смысле силлогизмами являются, например, умозаключени
S P S P S P S P
Фигура I Фигура II Фигура III Фигура IV
Модус силлогизма – это разновидность фигуры, определяемая типом входящих в него посылок и заключения. Сокра
Энтимемы и полисиллогизмы
Энтимемой (от лат. «энтиме» – «в уме») называется сокращенный силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение.
В практике аргументации эн
Правила посылок
1. Согласно общим правилам силлогизма, если одна из его посылок является отрицательной, то заключение должно быть
1. частным
2. общим
3. утвердительным
Простой категорический силлогизм
1.Установите соответствие между терминами и их ролью в структуре силлогизма
1. средний термин (А) термин, имеющийся в обеих посылках
2. больший термин (В) предикат заключения
A1, …, An ú»В
Такие умозаключения получили название индуктивных (от лат. «inductio» – «наведение»), или правдоподобных.
К числу правдоподобных умозаключен
Статистическая индукция
Статистической называется обобщающая индукция, при которой устанавливается относительная частота обладания свойством Р для произвольного
Аргументация и доказательство
Аргументация - это полное или частичное обоснование истинности какого-либо суждения при помощи других суждений. При этом предполагается, что в правильных аргументац
Опровержение и критика
Деятельностью, противоположной по своей цели и содержанию аргументации, являются опровержение и критика. Опровержение - это полное обоснование ложности тезиса, а
Основные правила аргументации
В процессе аргументации и критики могут совершаться ошибки двух типов: умышленные и неумышленные. Умышленные ошибки называются софизмами, а лица, совершающие такие ошибки, -
СЛОВАРЬ ЛОГИЧЕСКИХ терминов
1. Абдукция(от лат. abducere – приведение) – форма умозаключения, в котором из исходных суждений (описывающих свойства каких-то явлений) выбирается новое суждение (гипотеза), котор
Программное обеспечение и интернет - ресурсы
1. http://www.logic.ru/Russian/: ЛОГИКА РОССИИ
2 .http://www.logic.ru/Russian/LogStud/index.html: Электронный журнал «Логические исследования».
3. http://www.iph.ras.ru:8100/~logi
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов