Математические основы информатики.

Теперь давайте познакомимся с формой представления информации в компьютере. Наиболее простым, надежным и экономичным способом из множества возможных оказалось так называемое «битовое» представление и хранение информации. При таком способе каждая частица запоминающей среды может иметь только два возможных состояния: ДА, НЕТ; есть напряжение – нет напряжения. Связано это с логической организацией и физическим устройством ПК, как программно управляемого автомата.

В основе работы такой системы представления информации лежит двоичная система счисления, которую мы рассмотрим подробней.

Для начала давайте запишем определение. Система счисления XE "Система счисления" – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы делятся на позиционные и непозиционные.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее место положения (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их положения в числе.

Количество цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы.

В хорошо нам известной с детства десятичной позиционной системе счисления для записи любого числа используются десять цифр (основание системы 10) причем каждая цифра в числе несет двойную информацию: во-первых, свое собственное значение-2;3;4…., а во-вторых, место которое она занимает в записи числа.

Рассмотрим пример числа: 1579320.

Занумеруем все разряды справа на лево, причем привычный нам разряд единиц будем считать нулевым; тогда разряд десятков будет первым, сотен вторым, тысяч третьим и так далее. Такая нумерация весьма естественна, поскольку единицы – это 10 в нулевой степени, десятки – 10 в первой, сотни – 10 во второй и т. д., то есть расположение той или иной цифры в записи числа есть не что иное, как прямое указание, какой степенью 10 его можно заменить. А само значение цифры показывает, сколько раз надо взять 10 в заданной степени. Таким образом, окончательно наше число запишется в следующем виде: 1*10⁶+5*10⁵+7*10⁴+9*10³+3*10²+2*10¹+0*10⁰ .

Теперь давайте выберем наименьшее из возможных оснований позиционной системы счисления 2 и посмотрим, как записать произвольное натуральное число при помощи суммы степеней двойки. Для записи двоичного числа используются только две
цифры 0 и 1.

Пример записи двоичного числа 101110.

Давайте запишем начало таблицы перевода:

Для перевода десятичных чисел в двоичные числа можно использовать несложный алгоритм:

1. Разделить число на 2. Зафиксировать остаток (0 или 1) и частное.

2. Если частное не равно 0, то разделить его на 2, и так далее пока частное не станет равно 0. Если частное 0, то записать все полученные остатки, начиная с первого, справа на лево.

A. Например, представим 23 в двоичной форме.

Получим: 10111.

Чтобы получить обратную операцию, необходимо просуммировать степени двойки, соответствующие ненулевым разрядам в записи числа.

В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:

a_m-1P^m-1+a_m-2P^m-2+…+a₁P¹+a₀P⁰+a_-1P^-1+a_-2P^-2+…+a_-sP^-s,

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд);

-положительные значения индексов – для целой части числа (m разрядов);

-отрицательные значения – для дробной (s разрядов).

В вычислительных машинах применяют две формы представления двоичных чисел:

· естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой).

· нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления. Перевод десятичных чисел в шестнадцатеричные осуществляется по тому же алгоритму, что и в двоичные, только основание деления берется 16. Для представления используются 16 символов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15).

Вся информация в ПК представлена в виде двоичных кодов. Для удобства работы введены следующие термины, обозначающие совокупность двоичных разрядов. Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, хранимых или обрабатываемых ЭВМ.