Разложение ССН по « базовым элементам».
Если в ССН имеются элементы («базовые элементы»), устранение которых позволяет преобразовать ССН к последовательно-параллельной форме, то можно применить следующую процедуру.
Теоретическая основа этого метода – теорема о разложении логической функции, зависящей от n-элементов, по одной( или нескольким) переменным. F(x1, x2, …..хi,…..хn) = хiF(x1, х2, …xi-1,1,xi+1,…..xn)
V F(х1, х2, ….0,…..хn).
Простой иллюстрирующий пример:
Х3 мешает, его выбираем в качестве базового, по нему разлагаем логическую функцию:
F (х1, …..х5) = х3F(х1….1, х4, х5)V 3F(х1, х2, 0, х4, х5)
Представим ССН:
F2
F1 → PI(t) = [1 – (1 – P1(t))(1 – P2(t))] [1 – (1 – P4(t))(1 – P5(t))].
F2 →PII (t)= 1 – (1 – P1(t)P4(t)) (1 – P2(t)P5(t)).
Результирующая функция надежности P∑(t) = P3(t) PI(t) + (1 – P3(t))PII(t)
Преобразование «звезда – треугольник» и «треугольник – звезда2 Известны q1, q2, q3, - найти q31, q12, q23.
Поскольку показатели надежности внешней части ССН относительно точек А, В, С не зависят от вида соединения элементов внутренней части можно составить систему баланса надежности:
1 – q12 = (1 – q1)(1 – q2);
1 – q23 = (1 – q2)(1 – q3);
1 – q31 = (1 – q3)(1 – q1).
Решая систему, находим связь между qij и qi , qj.
В случае сложной логической функции (сложной ССН) следует привести её к «бесповторному виду», т.е. отдельные коньюкции не должны содержать общих переменных. Затем выполнить арифметизацию функции в бесповторной форме по правилу:
P(x1&x2) = P1P2; P(x1٧x2) = P1+P2 –P1P2.
Для приведения функции к бесповторному виду применяют правила:
x& x=x; x٧x=x; x٧x&y=x; 1٧x=1; x٧ =1; (x&y)٧(x& =x; x(x٧y)=x;
(x٧y)(x٧z) = x٧yz; F (х1, …..х5) = хiF(х1….1, х4, х5)V 3F(х1, х2, 0, х4, х5) .
Лекция 6. Асимптотические методы расчета надежности
Метод минимальных путей и сечений
Этот метод направлен на получение приближенных значений показателей надежности ССН, представленной в виде двухполюсного графа.
Минимальный путь – набор работоспособных элементов, отказ, хотя бы одного из которых, приводит к отказу всей системы.
Минимальное сечение – набор отказавших элементов, восстановление, хотя бы одного из которых, приводит к работоспособности системы.
Получение оценки показателей надежности выполняют в следующей последовательности (Оценка Эзари – Прошана).:
1. Представить ССН системы в виде двухполюсного графа.
2. Выявить множество минимальных путей и минимальных сечений.
3. Составление мнемонической расчетной модели:
строят ССН в виде минимальных сечений и минимальных путей.
Сечение представляет параллельное соединение входящих в него элементов. Между собой соединяются последовательно. Путь – последовательно включенные элементы. Пути соединяются параллельно.
Оценка функции надежности рассчитывается по формуле:
где А – множество минимальных путей; B – множество сечений; αк – минимальный путь; βs – минимальное сечение.
Таблица сравнения оценки показателя и точного значения, рассчитанного для «мостиковой схемы»
Р∑, Р – верхнее, - точное, рассчитанное для мостиковой схемы.
| Рi | Р - нижнее | Р.∑ | Р - верхнее |
| 0.01 | 0.0535 | 0.0002 | 0.0002 |
| 0.1 | 0.0026 | 0.0202 | 0.0219 |
| 0.5 | 0.431 | 0.5 | 0.57 |
| 0.9 | 0.98 | 0.9798 | 0.9326 |
| 0.99 | 0.9998 | 0.9998 | 0.9534 |
Обобщенная оценка Литвака – Ушакова.
Недостаток оценки Прошана заключается в том, что одни и те же элементы несколько раз могут входить как в минимальные пути, так и сечения, что вносит погрешность в расчет показателей. С целью устранения этой составляющей погрешности Ушаковым и Литваком предложена следующая скорректированная процедура оценки:
1. выбирают некоторый минимальный путь, рассчитывают показатель надежности.
l – минимальный путь
α – множество минимальных путей.
Gα – оставшийся граф, после удаления элементов, вошедших в минимальный путь.
Если граф можно преобразовать то, что бы найти показатель надежности Рα, то сразу рассчитываем
РI = 1 – (1 - Рαl)(1 - Рτ) , если сразу нельзя найти, то выделяем еще минимальный путь, действуя по схеме (*).
Из Рαl выбираем другой минимальный путь, находим РI……..РIк.
Из этого набора чисел выбираем максимальное значение.
Минимальный путь из к – чисел – нижняя оценка Р6.
Верхняя оценка(минимальное сечение).
Исходные графы G разделяют на 3 части, выбирают некоторое минимальное сечение, клеммы заторачивают.
1. Рассчитываем
Р2΄ = РG1 (1 – П(1 - Рl)) * РG2.
Выбираем другое исходное сечение и по аналогии рассчитывают: Р2”, Р2’”
Из всех значений выбирают минимальное
maxРI ≤ Р∑(t) ≤ minР2 – верхняя оценка.
Лекция №8 Расчет надежности с применением моделей пространства функционирования систем
Идея методов состоит в конструировании вероятностных свойств пространства состояний системы, отражающего её функционирование с точки зрения надежности. Особенности методов в том, что они могут применяться для расчета как невосстанавливаемых, так и восстанавливаемых систем. Рассмотрим некоторые из них.
Метод прямого перебора.
Состояние системы определяется состоянием (с т.з. надежности) элементов. Если элемент работоспособен (Xi= 1), если нет( Xi = 0). Пространство состояний представляется таблицей. Всего состояний 2n
| Х1 | Х2 | Х3 | Хi | Хп | Р(сi) | P∑ | |
| + | |||||||
| q3 | + | ||||||
Анализируем влияние работоспособного состояния элементов на состояние системы, с точки зрения надежности.