Расчет надежности систем методом максимума энтропии

Для построения пространства состояний функционирования системы определяют множество свойств (переменных), которыми она должна обладать - V_1, V_2…V_m, На каждую переменную накладывают ограничение, соответствующее пониманию проектировщиком функционирования системы:

Определяют множество функциональных модулей, применяемых для построения системы. Используют следующую форму описания модуля в процессе функционирования системы

C	V1	V2	V3	Fk(c)
C1	V11	V21	V31
C2	V12	V22	V32
Ck	V1l	V2l	V3l

Ф_к – элемент.

 

F_к(с) – функция распределения состояний этого элемента. Для каждого базового элемента создается такое описание.

Проектировщик должен сформировать общие требования объединения элементов в целое (систему):

а) все переменные должны наблюдаться в одном параметрическом пространстве («параметр» - переменная, используемая для наблюдения за изменениями других переменных системы). Примером параметра является

время;

б) соединять элементы между собой можно, если они имеют, хотя бы одну общую переменную, и соединяющие переменные должны иметь одну и ту же вероятность появления её некоторого значения, как у одного, так и у другого соединяемых элементов;

в)выбрать конструктивный признак формирования системы из элементов. С точки зрения надежности система в целом описывается видом распределения вероятностей состояний системы (модуля).

Модель расчета надежности.

В качестве проекции используем процедуру:

,

V1	V2	F(1)(c)
		0.4
		0.2
		0.2
		0.2

V1	V3	F(3)(C)
		0.3
		0.2
		0.3
		0.2

V2	V3	F(2)C
		0.4
		0.3
		0.2
		0.1

 

Рассмотрим пример:

ФМ К=1 ФМ К=2 ФМ К=3

 

Описываем состояния системы:

№	V1	V2	V3	F∑(c)	F∑(c)	F(2)(С)	F(3)(c)
				P1	P1	0,27	0.22
				P2	0.4-Р1	0,2	0.16
				P3	0.3-Р1	0,1	0.08
				P4	P1-0.1	0,05	0.04
				P5	0.4-Р1	0,13	0.17
				P6	P1-0.1	0,1	0.133
				P7	P1-0.1	0,1	0.2
				P8	0.2- P1	0,05	0.067

Составляем уравнения проекции:

 

 

Так как решение системы не единственное, то выбирают базовые состояния

В данном примере в качестве базового состояния выбираем первое ( с вероятностью P₁). Выражаем вероятности остальных состояний через Р₁

 

 

Множество распределений называют реконструктивным семейством.

Таким образом, получаем ограничение на вероятность базового состояния:

0.1 ≤ Р₁ ≤ 0.2

Если нет оснований для выбора Р₁ из указанного ограничения, то возникает задача выбора из реконструктивного семейства

Выбор из реконструктивного семейства осуществляют, используя принцип максимальной энтропии.

Энтропия – свойство вероятностных систем, имеющих неясности функционирования. В этом случае используется внутренняя информация, содержащаяся в описании системы.

Используется базовая процедура соединения элементов.

Множество состояний соединяемых элементов делят на три подмножества:

А - подмножество состояний, в которых пребывает только первый из соединяемых элементов.

В – множество общих состояний элементов.

С – подмножество состояний, в который пребывает второй из соединяемых элементов.

Соединение происходит последовательно правилу:

пару элементов заменяют одним эквивалентным элементом, с распределением F⁽²⁾(С) .

- общий элемент

На второе место ставят объединенный элемент на предшествующем этапе; а, в, с – элементы из множества А, В, С.

Соединение модулей 1 и 2:

 

Следующим шагом соединяем объединенный элемент (F⁽²⁾) с третьим блоком и получаем вариант системы F⁽³⁾(c)

 

=0.22;

=0.17;

 

 

Проверяем решение на удовлетворение по базовому состоянию: 0.1≤ Р₁ ≤0.2. Так как это ограничение не выполняется, то ищется следующее приближение. С этой целью полученное решение « соединяют» с первым модулем. Если решение по Р₁ проходит, то проверяем условие локальной согласованности.

 

Если равенство выполняется для всех состояний и всех модулей, то получим искомое решение.

Если равенство, хотя бы для одного из модулей не выполняется, то получим смещенную реконструкцию.

Следующий этап: соединение первого решения с первым модулем, получаем второе решение, снова проверяем условия локальной согласованности.

Если не выполняется, то соединение со вторым модулем, и т.д.

Условием окончания процедуры соединения является либо получение несмещенной реконструкции, либо выполнение ограничения:

 

- величина максимального отклонения, допустимая погрешность определения распределения

 

 

Лекция №11 Способы управления надежностью

Расчет надежности системы на этапе проектирования системы используется как инструмент получения проектного варианта, обладающего лучшими свойствами. Получение варианта с указанными особенностями предполагает использование приемов воздействия на показатели надежности системы.

Наиболее применяемые способы воздействия на надежность системы являются:

● уточнение рассчитанных показателей надежности с учетом возможных погрешностей в расчетных процедурах;

· выбор надежной комплектующей базы;

· введение избыточности на разных уровнях системы (структурная избыточность, временная алгоритмическая, информационная);

· выбор дисциплины эксплуатации системы;

· надежность технологических процессов изготовления системы;

· обеспечение надежности с помощью операций контроля на различных этапах жизненного цикла системы;

· юридическое и правовое организационное обеспечение надежности. Система управления качеством выпускаемой продукции.

1. Учет погрешности расчета показателей надежности. Метрологическое обеспечение АСУ. Погрешности определения показателей надежности (задание показателей надежности).

Погрешность в определении показателей надежности может возникнуть в результате нескольких причин:

· погрешности математических моделей. Связаны с решениями, принимаемыми проектировщиками: формализация функционирования системы и определение понятий надежности;

· нечеткий механизм формализации функционирования системы;

· неточности, вызванные отклонением параметров расчетной модели.

 

λ₁, λ₂, λ₃ – некоторые постоянные (резистор, термометр и др.)

Интенсивности отказов, приводимые в справочниках по надежности, есть усредненные значения по изделию.

Конкретный элемент будет иметь отличающееся от справочного значение. Оценить величину погрешности можно на основании следующих соображений. Пусть по расчету с применением метода преобразования ССН получено значение λ_р = φ(λ_i). Тогда = Значения приводятся в справочной литературе.

В качестве результирующего значения выбирают

2. Выбор показателей надежности комплектующих элементов.

При обосновании надежности комплектующих элементов, в отдельных случаях можно руководствоваться следующими соображениями: для отдельных подсистем, блоков, в качестве модели надежности применяется степенная модель надежности:

 

График функции приведен на рисунке.

 

Из рисунка следует, что существует некоторое значение вероятности безотказной работы p, которое может использоваться для определения целесообразности введения структурной избыточности. Структура будет обладать избыточной по сравнению с надежностью элементной базы, если координаты центра тяжести фигуры будут находиться в пределах

 

Определение координат центра тяжести находят как решения

 

По найденным значениям определяют рациональное значение показателей надежности элементной базы.

3. Введение избыточности в структуру системы.

· Резервирование – введение избыточности в состав технических, программных, информационных и т. д. средств системы. Часто резервирование связывают со структурной избыточностью.

Виды резервирования:

· Горячее резервирование – применяется в том случае, если функция (работа) выполняется несколькими элементами. В структурной схеме надежности такие элементы соединяют параллельно.

 

Резервный элемент работает в таких же условиях, что и основной элемент. Надежность эквивалентного элемента рассчитывают по формуле:

 

· Холодный резерв. Основной элемент и резервный элемент находятся в принципиально разных условиях и имеют разные показатели надежности.

λ – интенсивность отказа основного элемента, λ_р.э – интенсивность отказа резервного элемента. При этом

· Резерв замещения. Если в случае отказа основного элемента можно мгновенно на его место поставить резервный элемент, то говорят о резерве замещения.

 

Резервный элемент находится в облегченном режиме, по сравнению с основным элементом.

Расчетные модели для резерва замещения:

 

Резервирование с дробной кратностью.

Выделяется некоторая группа n однотипных с точки зрения надежности элементов. Для функционирования системы, необходимо, чтобы все они находились в работоспособном состоянии. С целью повышения надежности дополнительно вводят h элементов. Пусть состояние системы определяется числом отказавших элементов – x. Тогда вероятность пребывания системы в указанном состоянии равна:

Вероятность работоспособного состояния системы– сумма соответствующих вероятностей:

 

Временная избыточность

Пусть для выполнения некоторой работы необходимо τ единиц времени. Каждый сбой приводит к необходимости начинать работу сначала. Для повышения надежности выполнения работы вводится временной запас Δt. Математическая модель надежности выполнения работы, в частности, может быть построена с применением процесса восстановления. Вероятность того, что задача будет решена на интервале (τ + Δt) определяется выражением:

P(τ + Δt) = p(τ) + Ψ(Δt) p(τ) ,

где p(τ) – вероятность выполнения работы на интервале τ; Ψ(Δt) = - среднее число восстановлений на интервале Δt.

Если время работы до отказа распределено по экспоненциальному закону, то интенсивность восстановления равно интенсивности отказа φ(t) = λ. В этом случае P(τ + Δt) = ℮^-λt + λΔt ℮^-λt

Если речь идет о резервировании информационном, алгоритмическом, то следует выделять элементы соответствующего обеспечения (например, база данных, документы), объединять их в целое, строить расчетные модели, ССН и отражать вид используемого резерва.

 

 

Лекция № 12 Оптимальное резервирование

Резервирование, как мероприятие по улучшению надежности, связано с затратами различных ресурсов. Обобщенной мерой использования ресурсов обычно выступают стоимостные оценки. Очевидно, что повышение уровня надежности должно достигаться разумной ценой. В этом случае формулируется задача оптимального резервирования.

Используется две формулировки оптимальности резервирования:

1. Задана величина стоимости W₀ ( « вес») на обеспечение надежности системы. Нужно определить алгоритм отыскания максимального показателя надежности, не превысив при этом выделенного ресурса: и .

2. Задано ограничение на показатель надежности системы:

необходимо удовлетворить этому ограничению минимальными затратами:

В качестве примера решения задачи оптимального резервирования рассмотрим алгоритм, относящийся к методам «наискорейшего спуска».

Исходные предпосылки: предполагается, что систему в расчетной модели надежности можно представить в виде последовательно соединенных блоков. Применяется раздельное резервирование (более эффективное, чем общее). Известны стоимостные и надежностные показатели комплектующих элементов по участкам - w_i; c_i. Показатель надежности участка описывается функцией R_i(x_i), где x_i– число резервных элементов на участке.

Показатель надежности системы определяется функцией

R_∑(X) = ∏_i=1^kR_i(x_i), где X= (x₁, x₂, …,x_i, …,x_k)

Требуется найти вектор Х, при котором показатель надежности будет не меньше заданного P_д, при этом .

Решение состоит из двух этапов:

1. Подготовительный этап – формируется пространство решений.

2. Вычислительный этап.

На первом этапе переходят от функции R_∑(X) к функции L_∑(X) и строят пространство поиска, представленное таблицей №1

Таблица №1.

L(x) xi	L1(x1)	L2(x2)	Li(xi)	Ll(xl)	Ly(xy)	Lm(xm)
	L1(0)	L2(0)	Li(0)	Ll(0)	Ly(0)	Lm(0)
	L1(1)	L2(1)	Li(1)	Ll(1)	Ly(1)	Lm(1)
	L1(2)	L2(2)	Li(2)	Ll(2)	Ly(2)	Lm(2)
k	L1(k)	L2(k)	Li(k)	Ll(k)	Ly(k)	Lm(k)

Формируют величину, пропорциональную градиенту функции L_∑(X):

, (*)

По формуле (*) заполняем таблицу №2.

Таблица №2.

gi (x)	g1	g2	g 3	……	gm
	g1(1)	g2(1)	g 3(1)	……	gm(1)
	g1(2)	g2(2)	g 3(2)	……	gm(2)
	g1(3)	g2(3)	g 3(3)	……	gm(3)
…
k	g1(k)	g2(k)	g 3(k)	……	gm(k)

 

Вычислительный этап.

Первый шаг:

в таблице №2 находим максимальный элемент и фиксируем номер столбца(l), в котором он находится. После этого переходим к таблице №1 и для столбца с найденным номером вычисляем соответствующее приращение функции L_∑(.):

,

Считаем затраты:

,

где - затраты на создание системы без резервных элементов; Сравниваем с W₀ . Если W^I < W₀ , то переходим ко второму шагу.

Второй шаг вычислительного этапа. В таблице №2 ищем следующий максимальный элемент, а предыдущий вычеркиваем.

Пусть он находится в столбце с номером j. В таблице №1 ищем:

 

Сравниваем:

Если больше, то переход на шаг (n-1).

Число резервных элементов равно номеру шага, на котором завершается вычислительный процесс, а распределение резервных элементов по участкам соответствует числу попаданий максимальных значений на соответствующий участок.

Лекция №13 Особенности расчета надежности программного обеспечения

Отличие подхода к оценке надежности программного обеспечения состоит в том, что если не принимать во внимание носители, то в течение времени качество программного обеспечения повышается (для технических систем функция надежности убывающая функция времени).

 

Если функция надежности является убывающей функцией времени, то говорят о соответствующем свойстве надежности программного обеспечения.

С течением времени уменьшается число первоначальных ошибок (после тестировании программ), если ориентирование на качество программы числом ошибок, то качество программы увеличивается. После выявления всех ошибок, выделяется постоянный уровень качества.

Если ошибок нет, то заинтересованность к этой программе уменьшается (моральное старение программы).

Попытка перенести известные количественные модели оценки надежности для оценки надежности программного продукта.

Идея количественных оценок исходит из следующих допущений:

1. Число неизвестных ошибок N связать со свойством надежности для технических систем. Вероятностные свойства программы, как и для технических систем, описываются P(t) – вероятностью, что программа на интервале [0,t] не откажет.

2. Выбрать математическую модель, отражающую то, что с уменьшением числа ошибок, рассматриваемое свойство улучшается.

 

Справедливо на участке x_i и длину интервала надо связать с количеством ошибок, содержащихся в программе.

 

Модель, что ,

где k – коэффициент пропорциональности;

N – число ошибок, содержащихся в программе;

i – номер обнаруженной ошибки к началу интервала.

 

Нужно найти значение k и N. Для этого проводят эксперимент: подвергают испытываемую программу тестированию и фиксируют число выявленных ошибок – n.

Фиксируют интервалы времени:

 

 

,

где .

Составляем функцию с натуральным логарифмом:

 

 

 

Так как N, k – входят нелинейно в уравнение, то решают или графически или численным методом.

На каждом i-ом интервале:

, где .

 

 

Модели, построенные на методе посева

Качество программ определяется числом обнаруженных ошибок. В программу вносится известное число ошибок – S. Перемешивают их, чтобы обнаружить собственную ошибку.

Программа тестируется для обнаружения ошибок:

n=m+V,

где m – собственные ошибки программы;

V – внесенные ошибки.

Оценка L – вероятность сформировать выборку n_ошибок , в которой m – собственные ошибки, V – внесенные.

Вероятность того, что в результате тестирования из n выявляются m собственных ошибок.

N+S – общее число ошибок.

 

Находим:

 

где S – внесенные, m иV – результат эксперимента, * - не точное значение, а оценка.