Моделирование временного ряда

В общем случае каждый уровень временного можно представить как функцию четырех компонент: f(t), S(t), U(t), (t) , отражающих закономерность и случайность развития. Где

f(t) – тренд (долговременная тенденция) развития;

S(t) – сезонная компонента;

U(t) –циклическая компонента;

(t)– остаточная компонента.

В модели временного ряда принято выделять две основные составляющие: детерминированную (систематическую) и случайную. Под детерминированной составляющей временного ряда понимают числовую последовательность, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени t. Исключив детерминированную составляющую из данных, мы получим колеблющийся вокруг нуля ряд, который может в одном предельном случае представлять случайные скачки, а в другом – плавное колебательное движение.

Детерминированная составляющая может содержать следующие структурные компоненты:

1) тренд, или тенденция f(t), представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. Обычно тренд (тенденция) описывается с помощью той или иной неслучайной функции f_тр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда, или просто – трендом.

2) Сезонная компонента s(t) связана с наличием факторов, действующих с заранее известной периодичностью. Это регулярные колебания, которые носят периодический или близкий к нему характер и заканчиваются в течение года. Типичные примеры сезонного эффекта: изменение загруженности автотрассы по временам года, пик продаж товаров для школьников в конце августа – начале сентября. Спрос на пластические операции сезонный: в осенне-зимний период обращений больше. Типичным примером являются сильные колебания объема товарно-материальных запасов в сезонных отраслях Сезонная компонента со временем может меняться, либо иметь плавающий характер.

3) Циклическая компонента u(t) – неслучайная функция, описывающая длительные периоды (более одного года) относительного подъема и спада и состоящая из циклов переменной длительности и амплитуды. Примером циклической (конъюнктурной) компоненты являются волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п. Подобная компонента весьма характерна для рядов макроэкономических показателей. Здесь циклические изменения обусловлены взаимодействием спроса и предложения, а также наложением таких факторов, как истощение ресурсов, погодные условия, изменения в налоговой политике и т.п. Отметим, что циклическую компоненту крайне трудно идентифицировать формальными методами, исходя только из данных изучаемого ряда.

4) Случайная компонента (t) - это составная часть временного ряда, оставшаяся после выделения систематических компонент. Она отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера и представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению. Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда.

В анализе случайного компонента экономических временных рядов важную роль играет сравнение случайной величины с хо­рошо изученной формой случайных процессов - стационарными случайными процессами.

В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель:

Y(t) =f(t)+ S(t)+U(t)+(t); (2.1)

либо мультипликативная модель:

Y(t) =f(t)× S(t)× U(t)+ (t) (2.2)

В процессе формирования значений временных рядов не всегда участвуют все четыре компоненты. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной составляющей.

Тренды.Существует три основных типа трендов.

Первый тип - тренд среднего, когда временной ряд выглядит как колебания около медленно возрастающей или убывающей величины.

Второй тип трендов — это тренд дисперсии. В этом случае во времени меняется амплитуда колебаний переменной. Иными словами, процесс гетероскедастичен.

Часто экономические процессы с возрастающим средним имеют и возрастающую дисперсию.

Третий и более тонкий тип тренда, визуально не всегда наблюдаемый, — изменение величины корреляции между текущим и предшествующим значениями ряда, т.е. тренд автоковариации и автокорреляции.

Проводя разложение ряда на компоненты, мы, как правило, подразумеваем под трендом изменение среднего уровня переменной, то есть тренд среднего.

В рамках анализа тренда среднего выделяют следующие основные способы аппроксимации временных рядов и соответствующие основные виды трендов среднего.

– Полиномиальный тренд:

(2.3)

Для p = 1 имеем линейный тренд.

– Экспоненциальный тренд:

(2.4)

– Гармонический тренд:

, (2.5)

где R — амплитуда колебаний, ω — угловая частота, ϕ — фаза.

– Тренд, выражаемый логистической функцией:

(2.6)

Оценивание параметров полиномиального и экспоненциального трендов (после введения обозначения , — в первом случае и логарифмирования функции во втором случае) производится с помощью обычного МНК.

Гармонический тренд оправдан, когда в составе временного ряда отчетливо прослеживаются периодические колебания. При этом если частота ω известна (или ее можно оценить), то функцию (2.5) несложно представить в виде линейной комбинации синуса и косинуса:

и, рассчитав векторы cos(ωt) и sin(ωt), также воспользоваться МНК для оценивания параметров α и β.

Логистическая кривая нуждается в особом рассмотрении.

Сезонные колебания.Для моделирования сезонной составляющей можно использовать формулу:

,

где δ_jt — сезонные фиктивные переменные, соответствующие h сезонам: δ_jt = 1, когда наблюдение относится к сезону j, и δ_jt = 0 в противном случае.

Использование в линейной регрессии полного набора таких переменных связано с одной особенностью. В сумме они дают единицу: .

Поэтому, коль скоро в регрессии имеется константа, то будет иметь место линейная зависимость, и нельзя будет оценить однозначно. Таким образом, требуется наложить на коэффициенты какое-либо нормирующее ограничение. В частности, можно положить один из коэффициентов равным нулю, что эквивалентно неиспользованию соответствующей переменной при построении регрессии. Однако более удачная нормировка состоит в том, чтобы положить . При этом сезонная компонента центрируется, то есть в среднем влияние эффекта сезонности на уровень ряда оказывается равным нулю.

Подставим это ограничение в сезонную компоненту, исключив коэффициент λ₁ :

Новые переменные будут уже линейно независимыми, и их можно использовать в линейной регрессии в качестве факторов, а также получить и оценку структуры сезонности . Трактовать ее следует так: в j-м сезоне сезонность приводит к отклонению от основной динамики ряда на величину λ_j .

Если для описания тренда взять полиномиальную функцию, то, используя аддитивную схему, можно представить временной ряд в виде следующей линейной регрессии:

где .

В этой регрессии a_i и λ_j являются неизвестными коэффициентами. Применение МНК дает оценки p+h+1 неизвестных коэффициентов и приводит к выделению составляющих f_t , S_t и ε_t .

Рисунок 2.2 – Схема комплексного исследования тренд - сезонных временных рядов