Предшественники электронных вычислительных машин
Первое автоматическое устройство для выполнения операции сложения было создано в 1623 году в Германии Вильгельмом Шикардом на базе механических часов.
В.Шикард *
В 1642 году Блез Паскаль (Франция) разработал компактное суммирующее устройство, которое стало выпускаться серийно. В 1673 году немецкий математик и философ Лейбниц создал механический калькулятор, выполняющий четыре арифметических операции. Принцип механического управления оставался на протяжении XVIII века. 
Б.Паскаль *2 В.Лейбниц *3
Идея программирования вычислительных операций была осуществлена для настройки башенных часов. Старинные монастырские часы были настроены так, чтобы в заданное время включать механизм, связанный с системой колоколов.
Такое программирование было жестким: одна и та же операция выполнялась в одно и то же время.
Идея гибкого программирования механических устройств с помощью перфорированной бумажной ленты впервые была реализована в 1804 году в ткацком станке Жаккарда.
Программное управление вычислительными операциями было предложено в 1833 году английским математиком Чарлзом Бэббиджем в его Аналитической машине. Спроектированное Бэббиджем устройство не было построено до конца при жизни. Особенностью Аналитической машины стала реализация в ней принципа разделения информации на команды и данные.
Аналитическая машина содержала два крупных узла - "склад" и "мельницу". Данные вводились в механическую память "склада" путем установки блоков шестерен, а потом обрабатывалась на "мельнице" с использованием команд, вводимых с перфорированных карт (подобно ткацкому станку Жаккарда).
Ч. Бэббидж*4
Особая роль в разработке проекта Аналитической машины принадлежит Аде Лавлейс, дочери известного поэта Байрона. Именно ей принадлежала идея использования перфорированных карт для программирования вычислительных операций. В наши дни ее именем "Ада" назван один из языков программирования.
Фактическая идея программного управления вычислительным процессом была реализована спустя более 100 лет. В 1941 году Конрад Цузе в Германии, а в 1943 году Говард Эйкен в США построили на электромагнитном реле вычислительные машины, управляемые от перфоленты.
Идея программного управления вычислительным процессом была существенно развита американским математиком Джоном фон Нейманом, который в 1945 году сформулировал принцип построения вычислительной машины с хранимой в памяти программой.
Первый компьютер, в котором были воплощены идеи фон Неймана, был построен в Англии Морисом Уилксом в 1949 году.
* Краткие биографические данные Вильгельма Шикарда.
Вильгельм Шикард – профессор кафедры восточных языков в университете Тюбингена (Германия). В наши дни рабочая модель устройства была воспроизведена по чертежам и подтвердила свою работоспособность. Сам изобретатель в письмах называл машину "суммирующими часами".
Этот шестиразрядный механизм был способен складывать и вычитать, а при переборе звонить в колокольчик. Кроме того, на корпусе машины были установлены особые счеты, с помощью которых можно было производить и операцию умножения.
*2 Краткие биографические данные Блеза Паскаля.
Паскаль (Pascal) Блез (19.6.1623, Клермон-Ферран, — 19.8.1662, Париж), французский религиозный философ, писатель, математик и физик.
Первый математический трактат Паскаля “Опыт теории конических сечений”, изданный в 1640 году, содержал одну из основных теорем проективной геометрии. В 1642 году Паскаль сконструировал суммирующую машину. К 1654 году закончил ряд работ по арифметике, теории чисел, алгебре и теории вероятностей. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Так Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей. Теорема Паскаля о характеристическом треугольнике послужила одним из источников для создания Г. Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Вместе с Г. Галилеем и С. Стевином Паскаль считается основоположником классической гидростатики: он установил принцип действия гидравлического пресса, указал на общность основных законов равновесия жидкостей и газов. Опыт, проведённый под руководством Паскаля (1648), подтвердил предположение Э. Торричелли о существовании атмосферного давления.
Паскаль сыграл значительную роль в формировании французской классической прозы; его влияние испытали Ф. Ларошфуко и Ж. Лабрюйер, М. Севинье и М. Лафайет.
*3 Краткие биографические данные Вильгельма Лейбница.
Многие называют его последним ученым эпохи Возрождения, или первым ученым эпохи Просвещения. То и другое верно. Первое потому, что до наших дней никто иной не сочетал столь яркий математический талант с такой широтой гуманитарных склонностей. В этом отношении Лейбница можно сравнить с Леонардо да Винчи. Второе прозвание Лейбница также оправдано. Ведь он стал первым академиком двух виднейших научных содружеств Европы: Лондонского Королевского Общества и Парижской Академии Наук.
Поступив в 15 лет в Лейпцигский университет, он к 20 годам стал магистром философии, доктором права и дипломатом на службе у курфюрста Майнцского. В 1672 году 26-летний Лейбниц создал образец механического компьютера, способного не только складывать и вычитать (как более ранняя машина Паскаля), но также умножать и делить. Это свое детище Лейбниц пестовал почти 40 лет, в дальнейшем научив его даже извлекать квадратные корни. Лейбниц оценил преимущества двоичной системы счисления и сформулировал основные положения математической логики. Лейбниц сформулировал закон сохранения полной энергии в механических системах.
Лейбниц видел цель науки в открытии и исследовании природных "алфавитов" и "грамматики" во всей Вселенной: от небесной механики и земной химии до лингвистики или политики. По мысли Лейбница, вся наука является как бы "алгеброй природы". Она состоит из исчислений разной сложности от арифметики и евклидовой геометрии до математического анализа, римского права или христианского богословия.
*4 Краткие биографические данные Чарльза Бэббиджа. 
Чарльз Бэббидж – английский математик и изобретатель.
В 1833 году он разработал проект универсальной цифровой вычислительной машины – прообраза ЭВМ. Бэббиджа часто называют «отцом компьютера», хотя его прототип был создан через много лет после его смерти.
Главное отличие его «аналитической машины» заключалось в том, что она была программируемой и могла выполнять любые заданные ей вычисления. Она включала основные элементы современных компьютеров: память, ячейки которой содержали бы числа, и арифметическое устройство, состоящее из рычагов и шестеренок. Бэббидж предусмотрел возможность вводить в машину инструкции при помощи перфокарт. Однако эта машина не была закончена, поскольку низкий уровень технологий того времени стал главным препятствием на пути ее создания.
Значителен вклад Бэббиджа и в других областях. Он содействовал реформированию почтовой системы в Англии, составил первые надежные страховые таблицы, участвовал в изобретении тахометра и создал приспособление, сбрасывающее случайные предметы с путей перед локомотивом.
*5 Краткие биографические данные Конрада Цузе. 
В 1936 году немецкий исследователь Конрад Цузе (Konrad Zuse) создал вычислительную машину Z1, которая имела клавиатуру для ввода данных задачи. По завершению вычислений результат высвечивался на панели с множеством маленьких лампочек. Общая площадь, которую занимала машина, составляла 4 кв.м.
Конрад Цузе запатентовал способ автоматических вычислений.
Для следующей модели Z2 К.Цузе придумал остроумное и дешевое устройство ввода: Цузе стал кодировать инструкции для машины, пробивая отверстия в использованной 35-миллиметровой фотопленке.
В 1941 году Конрад Цузе построил первый в мире действующий релейный универсальный цифровой компьютер Z3.
*6 Краткие биографические данные Джона фон Неймана.
Янош фон Нейман родился 28 декабря 1903 года в Будапеште. Янош фон Нейман был старшим из трех сыновей банкира Макса фон Неймана. Позже, в Цюрихе, Гамбурге и Берлине, Яноша называли Иоганном, а после переезда в США – Джоном. В юные годы Янош занимался дома со специально приглашенными педагогам, а в возрасте 10 лет поступил в одно из лучших учебных заведений того времени – лютеранскую гимназию. Гения в фон Неймане распознал преподаватель математики Ласло Ратц. Он и помог ему развить его дарование.
Макс фон Нейман не считал профессию математика достаточно надежной, способной обеспечить будущее сына. Он настоял на том, чтобы Янош приобрел еще и профессию инженера-химика. Поэтому Янош поступил в Федеральную высшую техническую школу в Цюрихе, где изучал химию, и одновременно на математический факультет Будапештского университета.
Первая работа фон Неймана по аксиоматической теории множеств вышла в свет в 1923 году. Фон Нейман построил замечательную систему аксиом теории множеств, такую же простую, как гильбертова для евклидовой геометрии.
В 1925 году фон Нейман получает диплом инженера-химика в Цюрихе и успешно защищает диссертацию "Аксиоматическое построение теории множеств" на звание доктора философии в Будапештском университете.
Молодой доктор отправляется совершенствовать свои знания в Геттингенский университет, где в то время читали лекции люди, чьи имена стали гордостью науки: К. Рунге, Ф. Клейн, Э. Ландау, Д. Гильберт, Э. Цермело, Г. Вейль, Г. Минковский, Ф. Франк, М. Борн и другие. Приглашенными лекторами были Г. Лоренц, Н. Бор, М. Планк, П. Эренфест, А. Пуанкаре, А. Зоммерфельд...
В Геттингене фон Нейман познакомился с идеями зарождавшейся тогда квантовой механики, ее математическое обоснование сразу захватило. Совместно с Д. Гильбертом и Л. Нордгеймом фон Нейман написал статью "Об основаниях квантовой механики". Потом выпускает серию работ "Математическое обоснование квантовой механики", "Теоретико-вероятностное построение квантовой механики" и "Термодинамика квантовомеханических систем".
В 1927 году фон Нейман становится приват-доцентом Берлинского, а с 1929 года – Гамбургского университета.
В период 1927 по 1929 годы фон Нейман выполнил основополагающие работы трех больших циклов: по теории множеств, теории игр и математическому обоснованию квантовой механики.
В 1931 году фон Нейман становится профессором в Принстонском университете (США). В этот период он увлечённо работает над созданием мощной электронной вычислительной машины. В 1945 году он формулирует ряд принципов, используемых в современных ЭВМ, среди которых главным является принцип хранимой в памяти программы.
Фон Нейман внёс большой вклад в создание математической теории автоматов.
Многие идеи фон Неймана еще не получили должного развития, например, идея о взаимосвязи уровня сложности и способности системы к самовоспроизведению, о существовании критического уровня сложности, ниже которого система вырождается, а выше обретает способность к самовоспроизведению.
В 1949 году выходит работа "О кольцах операторов. Теория разложения".
Джон фон Нейман умер 8 февраля 1957 года.
Джон фон Нейман был удостоен высших академических почестей. Он был избран членом Академии точных наук (Лима, Перу), Академии деи Линчеи (Рим, Италия), Американской академии искусств и наук, Американского философского общества, Ломбардского института наук и литературы, Нидерландской королевской академии наук и искусств, Национальной академии США, почетным доктором многих университетов США и других стран.
*7 Краткие биографические данные Мориса Уилкса.
Английский исследователь Морис Уилкс построил в 1949 году машину Эдсак - первый мощный компьютер с программами, хранимыми в памяти. 
1.1.2.Математические идеи прошлого – в современных компьютерах
В первых механических предшественниках современного электронного компьютера числа представлялись либо в виде линейных перемещений цепных механизмов, либо в виде угловых перемещений зубчатых и рычажных механизмов. В механических устройствах зубчатые колеса могут иметь много фиксированных, различных между собой положений. Количество таких положений не меньше числа зубьев шестерни. В электрических и электронных устройствах регистрируются не положения элементов конструкции, а состояния элементов устройства. Таких устойчивых и различимых состояний 2: включен – выключен, заряжен – разряжен и т.п. Поэтому традиционная десятичная система, использованная в механических калькуляторах, неудобна для электронных вычислительных устройств.
Возможность представления любых чисел двоичными цифрами впервые была предложена Лейбницем в 1666 году в связи с исследованием философской концепции единства и борьбы противоположностей. Но поскольку для механических устройств в этом не было необходимости, он не стал использовать принцип двоичной системы в своем калькуляторе (1673 год).
В.Лейбниц Д.Буль *
При появлении принципиальной возможности создания средств вычислительной техники на электронной базе, весьма полезными оказались не только идеи двоичной системы счисления, но и система логической алгебры, созданная английским ученым Джорджем Булем в первой половине XIX века. (Теперь она называется булевой алгеброй). Основное назначение системы состояло в том, чтобы кодировать логические высказывания и структуры логических умозаключений выражениями, близкими по форме математическим формулам. Результатом формального расчета логического выражения является одно из двух логических значений: истина или ложь.
Четыре операции системы: И (пересечение), ИЛИ (объединение), НЕ (инверсия) и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ – лежат в основе работы всех видов современных компьютеров.
* Краткие биографические данные Джорджа Буля.
Джордж Буль английский математик и логик, один из основоположников математической логики. Разработал алгебру логики (булеву алгебру) ("Исследование законов мышления", 1854), основу функционирования цифровых компьютеров.
Джордж Буль родился в бедной рабочей семье. Первые уроки математики получил у отца и, хотя посещал местную школу, в общем, его можно считать самоучкой. В 12 лет он уже знал латынь, затем овладел греческим, французским, немецким и итальянским языками.
В 16 лет уже преподавал в деревенской школе, а в 20 лет открыл собственную школу в Линкольне. Начиная с 1839 года, Буль стал посылать свои работы в новый Кембриджский математический журнал.
В 1847 году он опубликовал статью "Математический анализ логики", в которой высказал идею, что логика более близка к математике, чем к философии. Эта работа была чрезвычайно высоко оценена английским математиком Августом Де Морганом. Благодаря этой работе Буль в 1849 году получил пост профессора математики Куинз-колледжа в графстве Корк, несмотря на то что он даже не имел университетского образования.
В 1854 году он опубликовал работу "Исследование законов мышления, базирующихся на математической логике и теории вероятностей". Работы 1847 и 1854 годов дали рождение алгебре логики, или булевой алгебре. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов – истина или ложь, нуль или единица. Он придумал систему обозначений и правил, пользуясь которыми, можно было закодировать любые высказывания, а затем манипулировать ими как обычными числами. Булева алгебра располагала тремя основными операциями - И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли производить сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение символов и чисел. Таким образом, Булю удалось подробно описать двоичную систему счисления. В своей работе "Законы мышления" (1854) Буль окончательно сформулировал основы математической логики. Он также попытался сформулировать общий метод вероятностей, с помощью которого из заданной системы вероятных событий можно было бы определить вероятность последующего события, логически связанного с ними.
В 1857 году Буль был избран членом Королевского общества. Его работы "Трактат о дифференциальных уравнениях" (1859) и "Трактат о вычислении предельных разностей" (1860) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли своё отражение наиболее важные открытия Буля.