В двоичную и наоборот

Существует особый случай перевода, если основание одной системы счисления является целой степенью основания другой системы. В этом случае перевод чисел существенно упрощается. В ЭВМ наиболее часто используется переход между 8-ричной и 2-ичной системами. Поэтому ограничимся рассмотрением только этого случая.

Пусть задано число А в 8-ричной системе:

A=a_n-1 a_n-2…a₁ a₀₍₈₎ = a_n-1´8^n-1+a_n-2´8^n-2+…+a₁´8¹+a₀´8⁰.

Пусть число А записано в 2-ичной системе счисления:

A=b_l-1 b_l-2…b₂ b₁ b_{0 (2)} = b_l-1´2^l-1+b_l-2´2^l-2+…+b₂´2²+b₁´2¹+b_0.

Так как числа одинаковые, мы можем приравнять их друг другу:

a_n-18^n-1+a_n-28^n-2+…+a₁8¹+a₀8⁰= b_l-1 2^l-1+2_l-2 2^l-2+…+b₂ 2²+b₁ 2¹+b₀ 2⁰ .

Если разделить обе части равенства на 8, то получим одинаковые частные

a_n-1 8^n-2 + a_n-2 8^n-3 +…+ a₁ = b_l-1 2^l-4 + b_l-2^l-5 +…+ b₄ 2¹ + b₃

и одинаковые остатки:

a₀₍₈₎=b₂ 2² + b₁ 2¹ + b₀ 2⁰ = b₂ b₁ b_{0 (2)}.

Следовательно, младшая восьмеричная цифра a₀₍₈₎ выражается трехразрядным двоичным числом b₂ b₁ b_{0 (2)}.

Если частное вновь разделить на 8, то получим

а₁₍₈₎=b₅ b₄ b_{3 (2)}.

Аналогично можно получить все остальные разряды.

Правило перевода. Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую восьмеричную цифру заменить равным ей трехразрядным двоичным числом (двоичной триадой).

 

Пример 3.14. Перевести восьмеричное число 571,034 ₍₈₎ в двоичное.

Решение. .

Для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную достаточно разбить его вправо и влево от запятой на триады и заменить каждую триаду соответствующей ей восьмеричной цифрой. Если крайние триады окажутся неполными, их следует дополнить нулями.

 

Пример 3.15. Перевести двоичное число 11011111011001 , 1001₍₂₎ в восьмеричное.

Решение.

.

Простота перехода от восьмеричной системы к двоичной иногда используется для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную: сначала от десятичной системы переходят к восьмеричной, а затем уже к двоичной.