Лекция 4. Системы счисления

В общем случае система счисления^Ì представляет собой совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Существуют различные системы счисления. Любая, предназначенная для практического применения система счисления, должна обеспечивать:

- возможность представления любого числа в рассматриваемом, заранее назначенном диапазоне величин;

- единственность представления (любая комбинация символов соответствует одному и только одному числу);

- простоту операций с числами.

Все системы счисления разделяются на два больших класса – непозиционные и позиционные.

В непозиционной системе счисления значения символов не зависят от положения в числе. Для образования таких систем используют, в основном, операции сложения и вычитания. Например, система с одним символом-палочкой встречалась у многих народов. Для изображения числа в этой системе нужно записать определенное множество палочек, равное данному числу. Эта система не эффективна, т.к. запись числа получается длинной. Другим примером непозиционной системы счисления является римская система, использующая набор следующих символов: I, V, X, L, C, D и т.д. В этой системе имеются отклонения от правила независимости значения цифры от положения в числе. В числах IV и VI символ I принимает соответственно значения –1 и +1.

В позиционной системе счисления значение каждой цифры изменяется от ее положения (или позиции) в числе. Например, если взять число в привычной для нас десятичной системе: 903,87 – эта последовательность цифр представляет собой не что иное, как сокращенную запись выражения:

903,87=9´10²+0´10¹+3´10⁰+8´10^-1+7´10^-2.

Десятичная система счисления наиболее распространена в вычислительной практике. Однако своему распространению она обязана не каким-то особым преимуществом перед другими системами, а достаточно случайному обстоятельству – наличию у человека десяти пальцев на руках.

Количество различных цифр, применяемых в позиционной системе счисления, называется ее основанием (для десятичной системы - от 0 до 9- десять ).

В позиционной системе с некоторым основанием р используются р различных между собой цифр от 0 до р -1. Так последовательность цифр

A_(p) = a_n-1 a_n-2 … a₁ a₀, a_-1 … a_-m

в р-ичной системе означает число

 

 

где a_i - цифры системы счисления, n и m – число целых и дробных разрядов числа.

Обычно в качестве двух младших цифр во всех системах счисления используются знаки 0 и 1. При этом основание системы счисления р записывается в виде последовательности цифр 10 (это не десять, а один ноль!). В скобках указывают систему счисления, в которой записывается число, т.е 10_(р).

В вычислительной технике широко используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. При этом для представления чисел в двоичной системе используются две цифры 0 и 1, в восьмеричной – 0, 1,…,7 и в шестнадцатеричной – цифры 0, 1,…,9 и знаки A, B, C, D, E, F (часто вместо этих знаков записывают символы

).

Пример 3.1. В качестве примера возьмем двоичное число 1001,1101₍₂₎. В соответствии с равенством (3.1 ) двоичное число можно определить следующим образом:

1001,1101₍₂₎=1´2³+0´2²+0´2¹+1´2⁰+1´2^-1+1´2^-2 + 0´2^-3 + 1´2^-4.

Если по правилам десятичной арифметики выполнить действия в правой части приведенного равенства, то можно получить значение этого числа в десятичной системе счисления (десятичный эквивалент двоичного числа):

1001, 1001₍₂₎=9,8125₍₁₀₎ .

В табл. 3.1 приведены эквиваленты десятичных чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 3.1

Десятичная	Эквиваленты в системах счисления	Десятичная	Эквиваленты в системах счисления
цифра	p=2	p=8	p=16	цифра	p=2	p=8	p=16
							A
							B
							C
							D
							E
							F

 

Для записи одного и того же значения в различных системах счисления требуется разное число позиций или разрядов. Например, 96₍₁₀₎=140₍₈₎=1100000₍₂₎. Чем меньше основание системы счисления, тем больше длина числа (длина разрядной сетки). Если длина разрядной сетки задана, то это ограничивает максимальное по абсолютному значению число, которое можно записать.

Пусть длина разрядной сетки равна числу N. Тогда

A _{(p )max} = p^N - 1.

Если же задано максимальное абсолютное значение числа, то длина разрядной сетки N равна:

N=log_P (A_(P)max+1).

Интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальными числами, называется диапазоном представленияÌ (ДП) чисел в данной системе счисления для заданной длины разрядной сетки:

-A _(P)max £ДП£ A_(P)max .

В ЭВМ длина обрабатываемых чисел обычно ограничена следующими значениями: 1 байт (8 двоичных разрядов), 2 байта (16 разрядов), 4 байта (32 разряда) и 8 байт (64 разряда). Соответственно ограничены и значения чисел, записываемых с использованием этих разрядных сеток. Так, максимальное целое положительное число, которое можно записать с использованием 16 двоичных разрядов, равно 2¹⁶-1 = =65535.