Метод последовательного деления на основание

Этот метод используется для перевода только целых чисел.

Пусть число A_(q) требуется записать в р-ичной системе. Допустим, что такое представление получено и новое число В_(р) имеет вид:

A_(q) = B_(p)= b_n-1b_n-2 … b₁b_{0 (p)} = b_n-1´p^n-1 + b_n-2´p^n-2 + … + b₁p¹ + b₀.

Разделим число A_(q) на р. Так как b₀<p, то в результате деления получим целую часть:

A₁ = b_n-1´p^n-2 + b_n-2´p^n-3 + … + b₁

и остаток b₀. Отсюда следует, что остаток от деления заданного числа на основаниe р равен значению цифры младшего разряда р-ичного числа. При этом, если p<q, то остаток является цифрой р-ичной системы счисления, а при p>q остаток представляет собой число в q-ичной системе счисления, которое соответствует цифре р-ичной системы (заметим, что деление должно выполняться в q-ичной системе счисления, т.е. в системе, в которой задано исходное число).

Чтобы найти цифру b₁ следует отбросить остаток b₀, a А₁ вновь разделить на р. Получим целую часть

А₂ = b_n-1´p^n-3 + … b₃´p + b₂

и остаток b₁, который равен значению цифры очередного разряда. Последовательное деление продолжается до тех пор, пока не получится частное, меньшее р. Это частное является цифрой старшего разряда искомого р-ичного числа.

Правило перевода. Чтобы перевести целое число из одной системы счисления в другую, необходимо последовательно делить это число и промежуточные частные на основание новой системы счисления, представленное в старой системе. Полученные остатки и последнее частное дадут искомое изображение р-ичного числа, причем первый остаток записывается в младший разряд, а последнее частное – в старший разряд числа.

Пример 3.10. Перевести десятичное число 38 в двоичную систему счисления.

Решение: