Метод последовательного умножения на основание
Этот метод применяется для перевода из одной системы счисления в другую только правильных дробей.
Пусть правильную дробь A(q) требуется записать в системе счисления с основанием р. Предположим опять, что эта запись найдена
A(q)=B(p)=0, b-1 b-2… b-m(p)=b-1´p-1+b-2´p-2+…+b-m ´p-m.
Если умножить число А на основание новой системы счисления p, то целая часть произведения будет равна b-1, а дробная
A1=b-2´p-1+b-3´p-2 + … + b-m´p-m+1,
причем A1-правильная дробь, т.к. все ai < p.
Таким образом, в результате умножения числа А на основание р получается целая часть, равная значению цифры старшего разряда р-ичного числа. Продолжая умножать дробные части Aj на основание р (целые части при умножении отбрасываются), можно получить остальные цифры искомой дроби: ими являются целые части получаемых произведений. При этом, если p<q, то целые части произведения являются цифрами р-ичной системы счисления, а при p>q целые части представляют собой числа в q-ичной системе счисления, которые необходимо заменить цифрами р-ичной системы.
Правило перевода. Чтобы перевести правильную дробь из одной системы счисления в другую, необходимо последовательно умножать это число и промежуточные произведения на основание новой системы счисления (представленное в старой системе), отбрасывая каждый раз целые части произведений. Эти целые части являются изображением дроби в р-ичной системе.
Пример 3.12. Перевести десятичную дробь A(10)=0,6875(10) в двоичную систему счисления.
Решение. Выполним следующие действия:
Ответ: B(2)=0, b-1 b-2 b-3 b-4=0,1011(2).
Пример 3.13. Провести обратный перевод двоичного числа 0,1011(2) в десятичную дробь.
Решение. В данном примере p>q, поэтому сначала переведем р(10) в двоичную систему счисления: р=10(10)=1010(2). Выполним последовательные умножения:
Ответ: B(10)=0, b-1 b-2 b-3 b-4 = 0,6875.
Следует заметить, что в общем случае дробные числа переводятся из одной системы счисления в другую приближенно, т.е. дробная часть произведения при последовательном умножении на основание может никогда не принимать значение, равное 0. Тогда число разрядов выбирается из условия обеспечения заданной точности.
Для перевода неправильной дроби из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным выше. Полученные результаты записывают в виде новой дроби.