Постановка задачи

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой.

Мы будем рассматривать способы приближенного вычисления определенных интегралов

, (10.1)

основанные на замене интеграла конечной суммой:

, (10.2)

где С_k- числовые коэффициенты, а x_kÎ [a, b], k = 0, 1, …, n.

Приближенное равенство

(2.3)

называется квадратурной формулой, а x_k – узлами квадратурной формулы. Погрешность квадратурной формулы определяется соотношением

. (10.4)

В общем случае погрешность квадратурной формулы (2.4) зависит как от выбора коэффициентов С_к, так и от расположения узлов х_к. Введем на отрезке [a, b] равномерную сетку с шагом h, тогда x_i = a + ih, где (i = 0, 1, ..., n;
h·n = b-a). Теперь выражение (2.1) можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

(10.5)

Таким образом, для построения формулы численного интегрирования на отрезке [a, b] достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке [x_i_-1, x_i] и воспользоваться формулой (2.5).