Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень ξ уравнения

f(x) = 0, (11.13)

 

отделен на отрезке [a, b], причем первая и вторая производные f¢(x) и f¢¢(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь n-ое приближение корня , мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Пусть

 

ξ = x_n + h_n, (11.14)

 

где h_n - величина малая. Отсюда по формуле Тейлора получим (ограничиваясь первым порядком малости относительно h_n)

 

f(x_n + h_n) = f(x_n) + h_n f¢(x_n) = 0. (11.15)

 

Следовательно,

 

h_n = - f(x_n) / f¢ (x_n). (11.16)

 

Подставив полученное выражение в формулу (4.14), найдем следующее (по порядку) значение корня:

 

(11.17)

 

Проиллюстрируем графически нахождение корня методом Ньютона (рис. 11.3.).

 

 

 

Рис. 11.3. Уточнение корня методом касательных

 

Если вкачестве начального приближения выбрать точкух₀ = В₀ , то процесс быстро сходится. Если же выбрать точку х₀ = А₀, то х₁ [a, b],и процесс нахождения корня расходится. Рекомендуется: в качествех₀ выбрать точку, где f(x)·f¢¢(x) > 0.