МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по всему курсу

Тольяттинский государственный университет

Автомеханический институт

Кафедра «Компьютерные технологии и обработка материалов давлением»

 

Егорова Э.В.

 

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по всему курсу  

Содержание

 

Введение. 5

Часть 1. Основания математики. 6

Глава 1. Понятийный аппарат аксиоматического метода. 6

1.1. Понятие аксиоматического метода. 6

1.2. Аксиоматическое построение математической теории. 7

1.3. Вопросы для самоконтроля по теме «Аксиоматический метод». 8

Глава 2. Основные понятия теории множеств. Основные структуры.. 10

2.1. Понятие множества. 10

2.2. Способы задания множеств. 11

2.3. Алгебра множеств. 12

2.4. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения. 16

2.5. Символический язык логической структуры математических предложений. 18

2.6. Алгебраические операции над различными математическими объектами. 19

2.7. Вопросы для самоконтроля по теме «Теория множеств». 20

Глава 3. Структуры на множестве. Комбинаторика. 21

3.1. Перестановки. 22

3.2. Размещения. 22

3.3. Сочетания. 23

3.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Комбинаторика». 24

Часть 2. Основы теории вероятностей. 24

Глава 4. Случайные события. 24

4.1. Основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий. 25

4.2. Алгебра случайных событий. 26

4.3. Определение вероятности. 27

4.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 29

4.5. Формула полной вероятности. 33

4.6. Формула Байеса. 34

4.7. Вопросы для самоконтроля по теме «Основы теории вероятностей». 35

Глава 5. Случайные величины.. 36

5.1. Понятие случайной величины.. 36

5.2. Дискретная случайная величина. 36

5.3. Непрерывная случайная величина. 40

5.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Случайная величина». 46

Часть 3. Элементы математической статистики. 48

Глава 6. Статистические оценки параметров распределения. 48

6.1. Предмет и задачи математической статистики. 48

6.2. Выборочный метод. 49

6.3. Статистические оценки параметров распределения. 52

6.4. Некоторые статистические распределения. 54

6.5. Интервальные оценки. 55

Глава 7. Проверка статистических гипотез. 59

7.1. Понятие и классификация статистических гипотез. 59

7.2. Общая схема проверки гипотез. 60

7.3. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения. 61

7.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Элементы математической статистики». 62

Часть 4. Алгоритмизация и программирование. 64

Глава 8. Основы алгоритмизации. 64

8.1. Понятие и свойства алгоритма. 64

8.2. Таблица блоков. 65

8.3. Линейные алгоритмы.. 66

8.4. Ветвления. 66

8.5. Циклы. Повтор с заданным количеством циклов. 68

8.6. Вопросы для самоконтроля по теме «Алгоритмизация». 68

Глава 9. Программирование на Паскале. 72

9.1. Конструкция языка Turbo-Pascal 72

9.2. Структура программы на языке Паскаль. 74

9.3. Основные операторы Паскаля. 75

9.4. Программы линейных алгоритмов. 75

9.5. Операторы передачи управления. 76

9.6. Разветвляющийся алгоритм.. 81

9.7. Операторы цикла. 81

9.8. Программы циклических алгоритмов. 83

9.9. Массивы.. 83

9.10. Вопросы для самоконтроля по теме «Программирование». 87

Литература. 90

Приложениe 1. 91

Приложениe 2. 93

Приложениe 3. 94

 

Введение

Данное учебное пособие предназначено для студентов вузов гуманитарных направлений. Особенностью данного курса является объединение двух казалось бы самостоятельных дисциплин: математики и информатики. Классических учебников по данной дисциплине мало. Данное учебное пособие построено на основе требований стандарта обучения для гуманитарных специальностей.

В настоящее время математика и компьютерные технологии стали активно внедряться в гуманитарные области, в том числе и в образование. Математические методы всё больше стали применять социологи, психологи, лингвисты, историки и другие специалисты гуманитарных направлений. Компьютерные технологии проникают в деятельность специалистов гуманитарных сфер. Научная обработка статистических данных без знаний математической статистики и использования компьютерных технологий невозможна. Соответственно появилась потребность в основательном базовом образовании в области математики и информатики студентов ВУЗов гуманитарных спецальностей. Университетское гуманитарное образование требует освоение фундаментальных основ математики и информатики, которые потребуются в дальнейшем при обучении, а затем и в трудовой деятельности. Формирование математического мышления с применением компьютерных технологий создаёт студенту предпосылки для освоения специальных дисциплин на высоком уровне.

Прикладные математические методы основаны на базовых, т.е. фундаментальных, разделах математики. Поэтому учебное пособие включает разделы:

1. Основания математики и соответственно аксиоматический метод, который применяется в научных теориях любых направлений.
2. Теорию множеств, которая позволила создать теоретико-множественные концепции, имеющие фундаментальное значение не только для теоретической математики, но и для многих научных дисциплин, далёких от неё. Эти концепции используются не только при построении основ науки, но и в педагогическом процессе.
3. Основы комбинаторики, широко применяемые для вычисления различных возможных комбинаций не только в математике.
4. Теорию вероятностей, методы которой применяются в теоретических и прикладных науках. Законы теории вероятностей используются в математической статистике.
5. Математическую статистику, которая широко используется в различных областях при обработке экспериментальных данных. В частности, социологи обрабатывают результаты социалогических данных, педагоги собирают статистику качества образования, обрабатывают её и делают выводы по совершенствованию образовательного процесса.
6. Алгоритмизацию и программирование, знание этих разделов информатики позволяет реализовать решение задач с применением компьютера, развивает логическое мышление у студентов.

Математике отводится одно из важнейших мест как в науке, так и в образовании, и, как следствие, математика имеет огромное значение в общечеловеческой культуре. В результате изучения математики и информатики у студентов формируется математическое и логическое мышление, которое сочетает в себе рационализм и эстетические качества. Красивое решение задачи возможно, если студент знает и владеет математическим аппаратом, умеет реализовать алгоритм решения задачи на компьютере и, получив результат, проанализировать его.

 

Часть 1. Основания математики

Глава 1. Понятийный аппарат аксиоматического метода

Особенностью развития науки в различных областях деятельности человечества заключается в исторически формируюшейся тенденции создания и использования одних и тех же методов во многих её областях. Наиболее активно и результативно этот процесс наблюдается в математике, её методы используются не только в точных науках, но и в науках далёких от математики: экологии, экономике, социологии и т.д.

Соответственно появилась необходимость в формировании современной математики, которая могла бы отражать связи с другими науками. Со временем выработалось направление по решению общих задач в отличие от существующего ранее подхода, заключающегося в рассмотрении конкретных задач. Например, принцип работы ЭВМ является единым для всех типов компьютеров. Если бы было иначе, пришлось бы пользователю перед работой ознакомиться с принципом работы конкретного компьютера. Следовательно, потребовалось бы для работы пользователя создавать описание архитектуры каждого типа компьютера.

Таким образом, выработалось направление в разных областях науки, которое требует выделить главные принципы, отбросив менее существенные.

В результате такого подхода сформировалась аксиоматическая теория, на основе которой появился метод, который называется аксиоматическим методом. Фундаментом аксиоматического метода является дедуктивный метод. Дедукция построена на логическом умозаключении от общих суждений к частным. Дедуктивный метод есть способ, при котором частные положения логически выводятся из общих (аксиом, постулатов, правил, законов). Дедукция тесно связана с индукцией, основанной на логическом умозаключении от частных суждений к общим.

Понятие аксиоматического метода

Аксиоматический метод – способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путём логической дедукции получать… Исторические подробности. В III в. до н.э. Евклид применил аксиоматический… Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически стройного построения геометрии, так как аксиоматически…

Аксиоматическое построение математической теории

Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага: Первый шаг: Задаётся некоторое множество первичных понятий (терминов). Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.

Глава 2. Основные понятия теории множеств. Основные структуры

В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких понятий, как число, функция, непрерывность и т. д. Для этого нужно было определить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию новых математических идей. Поэтому в конце XIX и начале ХХ века происходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор [1845-1918]. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом всей математики. В теории множеств в полной мере используется аксиоматический подход, то есть используются постулаты, утверждения без доказательств. В частности, аксиомы, определяющие множество N – натуральных чисел, множество Z – целых чисел, аксиомы умножения, полной упорядоченности. Ввиду очевидности каждого из постулатов, данные аксиомы в дальнейшем изложении опускаются.

Современная математика занимается не столько объектами исследования, сколько структурой отношений между этими объектами. Математика в первую очередь уделяет внимание основным структурам, в частности, таким понятиям: число, точка, векторные пространства, числовые функции, пределы и так далее, которые составляют в целом элементарную математику.

Основные структуры являются началом для построения всех разделов математики. Теория множеств занимается структурой отношений между этими объектами. В ней уточняется смысл основных терминов обиходного языка, вводятся символы, устанавливающие условия существования отношений, позволяющие выразить сжато, с помощью формул высказывания, которые лучше выявят их логическое и математическое содержание. На основе теории множеств появился теоретико-множественный язык, который позволяет описывать и объяснять математические высказывания в краткой и понятной форме, используя специальные символы и термины. Этот язык применяется во всех разделах математики. Каждый обучающийся математике независимо от специализации должен знать и понимать этот язык, как фундамент, на котором строятся основные понятия, методы в последующих разделах и курсах, которые требуется изучить.

Понятие множества

В 1872 г. Георг Кантор, создатель теории множеств, определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или… N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел;

Способы задания множеств

Можно отметить два способа задания множеств:

1. Задать полный перечень элементов этого множества. Первый способ задания множества называется перечислением. Пример. F={3,5,7,9}.
2. Указать Р – свойство или правило для определения того, принадлежит или нет рассматриваемому множеству данный объект. В этом случае указывается характеристическое свойство элементов множества.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. С его помощью можно описывать какие угодно множества в удобном и компактном виде.

Запись в виде {x Î X: P(x)} или {x Î X | P(x)} обозначает множество элементов х, обладающих свойством Р. Запись Х={x | P(x)} означает, что элемент х принадлежит множеству Х (х Î Х) тогда и только тогда, когда P(x) истинное утверждение.

Пример 1. Запись Х={x | x Î N: x < 9} означает, что х Î Х тогда и только тогда, когда х – натуральное число и меньше 9.

Пример 2. Учитывая, что N – множество натуральных чисел, то запись:

{x Î N: x²–25=0} означает множество корней уравнения x²–25=0, являющихся натуральными числами. В данном случае это множество состоит из одного элемента {5}. В этих примерах вначале указывается элемент множества, далее характеристика порождения элемента. Для бесконечных множеств предпочтительнее второй способ описания. Примеры записи:

1) Z={z | z – нечётные числа};

2) S={s | s = x_i² + y_i², где: x_i, y_i – координаты точки, i =1,2,...}.

Алгебра множеств

Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных множествах. Математика рассматривает не только объекты, но и главным образом связи между ними. Современная алгебра рассматривает общие понятия: понятия соответствия, отношения, алгебраических операций и другие.

Отношения между множествами

Определение 5: Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Утверждение,… Пример 3. Пусть В {2, 4, 6} – множество чётных чисел, А{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} –… Свойства включения множеств: Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ Ì А. …

Операции над множествами

Известно, что над числами можно производить следующие элементарные операции: сложение, умножение, вычитание. Над множествами вводятся аналогичные операции.

Определение 8: Объединением двух множеств называется третье множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств А и В обозначается:

AÈB = {x÷ xÎA или xÎB}.

Пример 4. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда АÈВ = {1,2,3,4,5}. Таким образом, если элемент x принадлежит объединению АÈВ, то он может принадлежать или множеству А, или множеству В, или обоим этим множествам. Можно сформулировать иначе: x Î АÈВ тогда и только тогда, когда х есть элемент хотя бы одного из этих множеств. В последнем примере числа 1, 2 принадлежат множеству А. Числа 4, 5 принадлежат множеству В, число 3 принадлежит обоим множествам сразу. Графически объединение множеств А и В можно представить на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Объединение множеств А и В

Определение 9: Пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Пересечение множеств обозначается: AÇB = {x÷ xÎA и xÎB}.

Пример 5.

Пусть даны множества: А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда: АÇВ = {3}.

В результате можно сделать вывод, что:

• Пересечение множеств А и В включено во множество А, что записывается: AÇBÌA.
• Пересечение множеств А и В включено во множество В, что записывается: AÇBÌB.
• Пересечение множеств А и В включено в объединение множеств, что записывается:AÇBÌAÈB.

Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. В этом случае множества не пересекаются и их пересечение – пустое множество.

Пример 6. Пусть А = {7,9,5}, В = {2, 4,6}. Тогда АÇВ =Æ.

Пересечение множеств А и В графически можно представить на рис. 2.2 (затенённая область).

Рис. 2.2. Пересечение множеств А и В

Свойства пересечения множеств:

1. AÇÆ=Æ.

2. AÇA=A.

3. AÇB=BÇA.

4. AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC=AÇBÇC.

5. AÌBÛAÇB=A.

Определение 10: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В. Обозначается:

A\B = {x÷ xÎA ; xÏB}.

Пример 7. Пусть А = {1, 2, 3, 4}; В = {3, 4, 5, 6}.

Тогда А\В = {1, 2}; В\А= {5, 6}.

Разность множеств А и В графически можно представить на рис. 2.3 (затенённая область):

Рис. 2.3. Разность множеств А\В

Если рассматриваемое множество В является подмножеством некоторого фиксированного множества А, то разность А\В называется дополнением множества В или дополнением до А множества В.

Определение 11: Разбиением множества Х называется такая расчленённая система Y непустых подмножеств множества Х, что каждый элемент множества Х является элементом некоторого множества системы Y.

Пример 8. Множество Y={{7,5}, {3,4}, {9,6}, {17,8}} есть результат операции разбиения множества X = {7, 5, 3, 4, 9, 6, 17, 8}. Данная операция позволяет образовать новое множество Y из одного существующего множества X. Можно выделить такое множество, что все рассматриваемые предметы являются его элементами. Такое множество называется универсальным. Обычно универсальное множество обозначается через U.

Дополнением множества А называется множество`А, состоящее из элементов множества U, не являющихся элементами множества А:

`А ={x | xÎU;xÏA}.

На диаграммах универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Универсальное множество U

Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением множества А.

Обозначается:`A=U\A (затенённая область рис. 2.5).

Рис. 2.5. Разность U\A

Алгебраические свойства операций над множествами

Для любых подмножеств А, В, С универсального множества U справедливы следующие тождества, которые приведены в таблице 2.1. Таблица 2.1 Коммутативность для объединения …  

Геометрическая интерпретация операций над множествами

Диаграммами Эйлера [1707-1783] (в США – диаграммами Венна) называют фигуры, изобржающие множества и наглядно демонстрирующие операции над множествами и некоторые свойства этих операций. С помощью диаграмм Эйлера удобно иллюстрировать операции над множествами. Все ранее приведённые рисунки являются геометрической интерпретацией операцией над множествами (рис. 2.1¸2.5). Диаграммами Эйлера можно представить всю последовательность выполнения алгебры множеств.

Декартово произведение множеств. Бинарные отношения

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. В примере 9 рассматривается образование упорядоченных… Пример 9. Пусть заданы два множества: X={7,5}, Y={1,4,8}. Из этих множеств можно создать новое множество, перечислив все…

Символический язык логической структуры математических предложений

При записи математических предложений используются обозначения логики: Логические символы: a) Þ логический вывод (дедукция), который означает: «влечет за собой». … b) Û логическая равносильность, которая означает: «эквивалентно». Кванторы:

Алгебраические операции над различными математическими объектами

В математике изучают не только отношения, но и различные операции над различными математическими объектами. В качестве математических объектов можно перечислить: числа, множества, высказывания.

Для чисел: умножение, деление сложение, вычитание. Для множеств: пересечение, объединение, вычитание. Над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Операции над высказываниями и множествами появились в математике в XIX веке, и ввел их английский математик Дж. Буль [1815-1864] (булева алгебра). Операции над множествами ввел немецкий математик Г. Кантор. Оказалось, что операции над множествами и высказываниями обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел, но некоторые отличаются от свойств операций над числами. В XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, множеств, высказываний и другие.

Появилось общее понятие алгебраической операции. В математике вводятся понятия операций над элементами множества произвольной природы и изучаются свойства таких операций. Основная идея состоит в том, чтобы изучать не свойства конкретных элементов конкретных множеств, а свойства операций над этими элементами. Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задаётся с помощью формулы алгебры множеств.

Например, AÇ(ВÈC), (X\Y) È Z – формулы алгебры множеств.

Пример 22.

Дано три множества М = {7, 2, 3, 5}, N = {1, 2, 4, 7, 9},

K = {6, 7, 9}.

Найти:

X=(MÇN)È(MÇK)\(NÇК)È(N\K).

Z=(NÈM)Ç(MÈK)\(KÈN)È(N\K).

Решение.

1) MÇN= {7, 2};

2) MÇК = {7};

3) NÇК={7, 9};

4) MÈK={2, 3, 5, 6, 7, 9};

5) NÈМ= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9};

6) KÈN={1, 2, 4, 6, 7, 9};

7) N\K={1, 2, 4}.

X=(MÇN)È(MÇK)\(NÇК)È(N\K)={1, 2, 4}.

Z=(NÈM)Ç(MÈK)\(KÈN)È(N\K)={1, 2, 3, 4,5}.

2.7. Вопросы для самоконтроля по теме «Теория множеств»

1. X={5,7,3} и Z={7,2,3,4,5}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множества X и Z равны»;

b) «Множества X и Z не имеют общих элементов»;

c) «Множество X включает в себя множество Z»;

d) «Множество X есть подмножество множества Z».

2. Заданы множества M={9,3,1,5} и N={9,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество M есть подмножество множества N»;

b) «Множества M и N не имеют общих элементов»;

c) «Множества M и N равны»;

d) «Множество M включает в себя множество N».

3. Заданы множества A={1,2,3} и M={0,2,3,6,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество А включает в себя множество М»;

b) «Множества A и M равны»;

c) «Множество А есть подмножество множества М»;

d) «Множество М есть подмножество множества А».

4. Заданы множества A={2,4,3,1} и B={4,2,1,3}, тогда для них неверным утверждением будет:

a) «Множества A и B равны»;

b) «Множества A и B не имеют общих элементов»;

c) «Множество A включает в себя множество B»;

d) «Множество A есть подмножество множества B».

5. Заданы множества C={7,2,5} и D={3,2,1}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество D является подмножеством множества C»;

b) «Множество C является подмножеством множества D»;

c) «Множества C и D равны»;

d) «Множество C не равно множеству D».

6. Заданы множества M={9,5,4} и N={9,1,4,2,5,3}, тогда для них верным утверждением будет:

a) «Множество M есть подмножество множества N»;

b) «Множества M и N не имеют общих элементов»;

c) «Множества M и N равны»;

d) «Множество M включает в себя множество N».

7. Если сравнить две упорядоченные пары: (3;9) и (9;3), то они находятся в отношении:

a) «функциональной зависимости»;

b) «не имеют общих элементов»;

c) «равенства».

d) «не равенства».

8. Заданы две упорядоченные пары: (8;1), (1;8) двух множеств: A={8,4,1} и B={1,4,8}, которые находятся в отношении:

a) «равенства».

b) «функциональной зависимости»;

c) «не равенства».

d) «упорядоченности по убыванию».

9. Отношение задано неравенством: x-3y>0, тогда данному отношению принадлежит следующая пара чисел:

a) (5; 2); b) (1; 1); c) (5; 1); d) (0; 0).

10. Отношение задано неравенством: 5x+y<0, тогда данному отношению принадлежит следующая пара чисел:

a) (1; 2); b) (-1; 1); c) (1; -1); d) (0; 0).

Глава 3. Структуры на множестве. Комбинаторика

Встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решений. Чтобы выбрать правильный из них, надо перебрать все возможные варианты. Задачи, требующие такого решения, называют комбинаторными. Раздел математики, в котором исследуются различные задачи на перебор, называется комбинаторикой.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов: перестановки, размещения, сочетания. В задачах, связанных с выборкой элементов множества, необходимо подсчитать количество различных комбинаций этих элементов. С теоретико-множественной точки зрения решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Комбинаторика возникла в ХVI веке. В ней рассматривались задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчёта числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математики. Её методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики. Появились направления в математике, в основу которых положена комбинаторика: перечислительная комбинаторика, комбинаторная теория, популярная комбинаторика, комбинаторный анализ, прикладная комбинаторная математика, комбинаторные методы дискретной математики, вероятностные методы в комбинаторике и т.д.

В теории вероятностей приходится подсчитывать общее число исходов эксперимента и число благоприятных исходов. Такой подсчет сводится к перебору возможных вариантов. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

Перестановки

Определение 1: Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n – различных элементов и отличающиеся только порядком их… где: Рn – количество перестановок; n! = 1 · 2 · 3· … · (n - 1) · n – произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно есть «n-факториал».

Размещения

Определение 2: Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов,… Пример 3. Группу из 20 студентов можно разместить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения имеет…

Сочетания

Определение 3: Сочетанием называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются только составом элементов и… Сочетания используются, если важен только состав элементов в выборке. Пример 5.

Часть 2. Основы теории вероятностей

Глава 4. Случайные события

В математике существует наука, которая изучает объекты, связанные с понятиями случайности и вероятности. Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление (событие) – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Математические законы теории вероятностей являются отражением реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы, к изучению которых теория вероятностей применяет математические методы и по своему методу является одним из разделов математики.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Проникновение случайности в математику наблюдались в Древней Греции. Математическое понятие вероятности возникло из анализа азартных игр (кости, карты). Развитие страхового дела связано с вероятностями и стимулировало интерес к подобным задачам. Первые работы в этом направлении связаны с созданием теории азартных игр. Паскаль и Ферма установили некоторые положения теории вероятностей в 1654 году. Христиан Гюйгенс спустя три года написал книгу о расчётах в азартных играх. В XVIII веке Якоб Бернулли доказал теорему, которую позже назвали законом больших чисел. Среди учёных этого периода следует назвать: Гаусса, Муавра, Лапласа, Пуассона и др.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские ученые: П.Л.Чебышев и его ученики: А.А.Марков, А.М.Ляпунов. Среди советских математиков следует отметить С.Н.Бернштейна, В.И.Романовского, Н.В.Смирнова и др. Аксиоматический подход к вероятности окончательно сформулировал советский математик академик А.Н. Колмогоров в своей статье «Об основных понятиях теории вероятностей». Аксиоматика А.Н. Колмогорова составляет фундаментальную основу теории вероятностей. Теорию вероятностей применяют при оценках ошибок наблюдений, измерений, в демографии, в теории стрельбы и т.д. Вероятностный подход в решении многих задач (социологических, экономических, технологических и других) в настоящее время является актуальным. Все это предопределяет необходимость овладения методами теории вероятностей и математической статистики как инструментом статистического анализа полученной информации в разнообразных сферах деятельности человека, а также прогнозирования ожидаемых результатов при решении важнейших профессиональных задач.

Основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий

Различают следующие виды случайных событий: достоверные, невозможные и случайные. События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С,...,Z. Достоверное событие всегда происходит в результате наблюдения или испытания. Достоверное событие обозначается символом – W.

Невозможное событие никогда не происходит в результате наблюдения или испытания. Невозможное событие обозначается символом – Æ.

Пример. Если в корзине только персики, то достать из корзины персик является достоверным событием, а достать лимон является невозможным событием.

Случайное событие – это такое событие, которое в результате наблюдения или испытания может произойти, а может и не произойти.

Пример. Студент сдаёт экзамен. Экзамен сдан. Это событие случайное, так как студент мог и не сдать экзамен.

Кроме того, события могут быть совместными и несовместными, зависимыми или независимыми. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Примеры совместных событий: два стрелка стреляют по мишени, два спортсмена одновременно бегут. Случайные события А и В называются несовместными, если при данном испытании появление одного из них исключает появление другого события. Несовместные события: день и ночь, студент одновременно едет на занятие и сдаёт экзамен, число иррациональное и чётное.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произошло событие В или нет. Пример. Два студента одновременно сдают экзамен независимо друг от друга. Это событие совместное и независимое. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того произошло или не произошло событие В. Пример. Работник получит оплату труда в зависимости от качества её выполнения.

Равновозможные события – это такие события, которые имеют одинаковые возможности для их появления. Полная группа событий – это совокупность единственно возможных событий при данном испытании. Пример. Студент может сдать экзамен на любую оценку. В данном случае возможны следующие события: студент может сдать экзамен на 5, студент может сдать экзамен на 4, студент может сдать экзамен на 3. Эти события образуют полную группу.

Противоположные события. Два случайные события А и В называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий. Примеры: студент может сдать или не сдать экзамен, день и ночь.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется множеством элементарных событий.

Сложным событием (исходом) называется произвольное подмножество множества элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Например, испытание – подбрасывание кубика. Элементарное событие – выпадение грани с числом «5». Сложное событие – выпадение грани с нечётным числом.

Алгебра случайных событий

А={w Î W | w Ì A}. Достоверному событию соответствует всё пространство W. Невозможное событие… Событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой (объединением) этих событий и…

Определение вероятности

Классическое определение вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Одно из основных – это классическое определение. Это определение применимо в случаях, когда удается выделить полную группу несовместных и равновероятных событий, т.е. элементарных исходов.

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:

.

(4.1)

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 5.

В группе 25 студентов. Из них 10 девушек и 15 юношей. Наугад выбирают одного студента. Найти вероятность того, что выберут юношу.

Решение. Искомая вероятность:

Пример 6.

В группе 15 студентов. Из них 5 девушек и 10 юношей. Выбирают 3 студентов. Найти вероятность того, что из трёх выбранных студентов выберут одну девушку и двух юношей.

Решение. При вычислении вероятности события необходимо обратиться к разделу комбинаторики. Для данной задачи следует подсчитать различные сочетания по формуле (3.3).

Искомая вероятность:

где:

Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных экспериментов, число исходов которых конечно, а сами исходы равновозможны и несовместны.

Аксиомы теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности

Числовая функция Р(А), заданная на алгебре F – подмножеств пространства элементарных исходов – W, называется вероятностью случайного события А, если… А1 (аксиома 1). Р(а) > 0; " A Î F. Аксиому 1 можно прочитать: «вероятность случайного события А всегда величина положительная для любого события,…

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Сложение вероятностей несовместных событий

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.   Р(А+В)=Р (А)+Р… Данную строку можно прочитать следующим образом: вероятность появления события… Для нескольких несовместных событий формула (4.2) имеет вид:   Р(А1 + А2+ … + Аk) = Р(А1) + (А2) …

Умножение вероятностей независимых событий

Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих… Запись Р(А)×Р(В) можно представить в виде Р(А)ÇР(В). Пример 9.

Вероятность появления хотя бы одного события

определяется по формуле: Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1, А2,…,Аn), независимых в совокупности, равна разности…

Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность

Теорема 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность… Пример 12. Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому он не подготовился. Преподаватель в…

Сложение вероятностей совместных событий

События в формуле (4.10) могут быть как зависимыми, так и независимыми. Для независимых событий:   Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)… Для зависимых событий:   Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) × РА(В). (4.12)

Формула полной вероятности

Требуется найти вероятность Р(А). Теорема 8. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии… Так как события Hi несовместны, то несовместны и события А × Hi.

Формула Байеса

Откуда: , или, вычислив Р(А) по формуле полной вероятности (4.13), получим:   . (4.15)

Глава 5. Случайные величины

Понятие случайной величины

Выпадение некоторого значения случайной величины хi. это случайное событие: Х = хi. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные… Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в… Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из…

Дискретная случайная величина

Закон распределения дискретной случайной величины

Пример 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной… Решение.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Cвойства математического ожидания: Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Математическое ожидание… M(X+Y+...+W)=M(X)+M(Y)+...+M(W). Математическое ожидание произведения… 2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины…

Непрерывная случайная величина

Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

где: f(х) – функция плотности вероятности вычисляется по формуле:   . (5.8) Функцию распределения F(х) называют интегральным законом распределения,… Cвойства функции распределения F(х):

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

1. Математическое ожидание

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х:

.

(5.11)

f(х) – плотность вероятности распределения случайной величины Х.

1. Дисперсия

Дисперсия непрерывной случайной величины Х:

	.	(5.12)
	.	(5.13)

1. Среднее квадратическое отклонение определяется формулой (5.2).

Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин

Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и соответствующие им числовые характеристики. Равномерный… Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на… Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:   . (5.15)

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

где а – математическое ожидание. Пример 7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону.… Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (5.18).

Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины

Пусть e – отклонение нормально распределённой случайной величины Х по модулю. Требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х… Предполагается, что в формуле (5.18) отрезок [х1; х2] симметричен относительно… В правую часть (5.18) подставляются значения х1, х2 из (5.19). Далее выражение в фигурных скобках левой части формулы…

Часть 3. Элементы математической статистики

Глава 6. Статистические оценки параметров распределения

Математическая статистика возникла в XVII в. и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Большой вклад в развитие математической статистики внесли российские ученые в XIX в. – начале XX в.: в первую очередь П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, а также учёные других стран – К. Гаусс, К. Пирсон, Ф. Гальтон и т.д.

В XX в. существенный вклад в развитие математической статистики был сделан советскими математиками, в частности, А.Н. Колмогоровым, В.И. Романовским, Е.Е. Слуцким, Н.В.Смирновым, а также английскими – Стьюдентом, Р. Фишером, Э. Пирсоном и американскими учёными – Ю. Нейманом, А. Вальдом и др.

Предмет и задачи математической статистики

Так, например, если изучается некоторое случайное событие А, то известно Р(А). Если же речь идёт о случайной величине Х, то известен закон… В практических задачах эти характеристики, как правило, неизвестны, но имеются… В теории вероятностей вероятностное пространство задано и требуется предсказать возможное поведение случайной…

Выборочный метод

Полигон и гистограмма

Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Пример 1. После группировки данных в выборке статистический ряд задан таблицей… Таблица 6.1 i xi …

Эмпирическая функция распределения

где: nx – число вариант меньших х, n – объём выборки. В отличие от эмпирической функции распределения для выборки, вводится понятие… Пример 3.

Статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистические оценки… Состоятельной называют статистическую оценку, которая при неограниченном… Несмещённой называют статистическую оценку, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике…

Генеральная средняя и выборочная средняя

где xi – варианта генеральной совокупности, ni – частота варианты xi, . N – все возможные значения частот дискретной случайной величины Х.

Некоторые статистические распределения

6.4.1. c2 – распределение Пусть x1, x2,…, xk – независимые случайные величины, распределенные по… Сумма квадратов этих случайных величин в (6.6) распределена по закону c2 «Хи – квадрат» с k=n степенями свободы.

Распределение Стьюдента

Закон Стьюдента – это отношение нормированной случайной величины x к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону… График плотности распределения Стьюдента похож на график нормального… Свойства распределения Стьюдента:

Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется границами: началом и концом диапазона значений характеристики. Интервальные оценки позволяют… Для определения погрешности полученных значений используют интервальные… a = 0,01; a =0,05; a = 0,1.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины

где t = e/s. Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально.… Из теории вероятностей дискретной случайной величины известны положения для числовых характеристик среднего…

Доверительные интервалы для математического ожидания при известной дисперсии

где b – вероятность покрытия математического ожидания а доверительным интервалом . Если приравнять правые части (6.9а) и (6.13), то получим:   … где Ф(t) – функция Лапласа (5.17а).

Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть из генеральной совокупности объёмом n извлечена выборка. Требуется по данным выборке оценить неизвестную генеральную дисперсию D_г.

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии. Отличие математического ожидания выборочной дисперсии от оцениваемой генеральной дисперсии определяется следующим соотношением:

.

(6.16)

Выборочная дисперсия может быть исправлена. Исправленная выборочная дисперсия равна:

.

(6.17)

Исправленная выборочная дисперсия (6.17) является несмещённой оценкой генеральной дисперсии. Таким образом, получена оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.

Доверительные интервалы для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Во-первых, по данным выборки объёмом n можно найти исправленную выборочную дисперсию s2, используя (6.17). Во-вторых, по данным выборки можно строить случайную величину, которая имеет… Если сравнить распределение Стьюдента по данным выборки (6.18) с (6.8), то следует отметить, что в (6.18): За…

Глава 7. Проверка статистических гипотез

Понятие и классификация статистических гипотез

Статистической гипотезой называется предположение относительно вида неизвестного распределения или параметров известных распределений наблюдаемой случайной величины.

Ранее в 5.2 рассматривались примеры 1, 2, где вычислялись выборочные характеристики, были построены полигон или гистограмма. Можно предположить, что данная случайная величина распределена по одному из известных законов. Следующий этап: нужно проверить, что экспериментальные данные соответствуют высказанной гипотезе и принять её. Этот этап называется проверкой статистической гипотезы. Алгоритм проверки гипотезы называется решающим правилом. Так как гипотеза выдвигалась на основе выборочных данных, то гипотеза будет носить вероятностный характер.

К основным задачам математической статистики относятся:

1. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения. В этом случае предполагается, что закон распределения случайной величины установлен. Пусть совокупность распределена по нормальному закону. Выдвигается гипотеза о математическом ожидании в предполагаемом диапазоне.
2. Статистическая проверка гипотез о законе распределения случайной величины. Гипотезы о виде распределения выдвигаются в условиях недостаточной информации о выборке.

Практически экспериментальные данные при большой выборке приближаются к нормальному закону. Выдвинув такую гипотезу, далее следует найти доверительные интервалы для параметров этого распределения. Проверяемая гипотеза называется нулевой (основной), наиболее правдоподобной по каким-то соображениям, и обозначают её H₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу H₁, противоречащую основной. Выдвинутая нулевая гипотеза нуждается в дальнейшей проверке.

При этом могут быть допущены ошибки двух типов:

1. Ошибка первого рода – отвергнута правильная гипотеза;
2. Ошибка второго рода – принята неправильная гипотеза.

Общая схема проверки гипотез

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближённое распределение которой известно, обозначают её через Z, если она распределена нормально, T – по закону Стьюдента, c² – по закону «хи–квадрат». Данная специально подобранная случайная величина называется статистическим критерием или критерием значимости, который в дальнейшем будет обозначаться через Z. Статистический критерий служит для проверки нулевой гипотезы.

Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия принимают отношение исправленных выборочных дисперсий. Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и получают наблюдаемое значение критерия. Наблюдаемым значением критерия Z_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если по двум выборкам найдены выборочные дисперсии d₁=27; d₂=9, то наблюдаемое значение критерия равно отношению большей исправленной дисперсии к меньшей: Задачу проверки гипотез можно сформулировать следующим образом.

1. Требуется найти случайную величину Z, которую ещё называют статистикой критерия, удовлетворяющую двум основным требованиям:

а) Значение критерия можно посчитать только на основании выборки.

б) Распределение критерия известно в предположении, что нулевая гипотеза верна.

2. После поиска или выбора статистики находится критическая область. На числовой оси выделяется область, попадание в которую для случайной величины маловероятно. Малая вероятность задаётся, как и в доверительных интервалах, малым числом – a, которое называют уровнем значимости. Вероятность совершить ошибку первого рода (вероятность отвергнуть правильную гипотезу) равна a – уровню значимости.

Критической областью называют совокупность значений критерия Z, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотез называют совокупность значений критерия Z, при которых нулевую гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) – z_kp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают три вида критической области:

• правосторонняя, определяемая неравенством Z > z_kp > 0;
• левосторонняя, определяемая неравенством Z < z_kp < 0;
• двусторонняя, определяемая неравенством Z < -z_{кр ;} Z > z_кр.

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенством ½Z½ > z_kp > 0. При отыскании критической области задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимости a и ищут критические точки, исходя из требования, чтобы вероятность того, что критерий Z примет значения, лежащие в критической области, была равна принятому уровню значимости. В результате получают:

• для правосторонней критической области:

P (Z > zkp) = a;

(7.1)

• для левосторонней критической области P (Z < z_kp) = a;
• для двусторонней симметричной области P (Z > z_kp) = a/2 .

Основной принцип статистической проверки гипотез заключается в следующем:

• Если наблюдаемое значение критерия Z_набл, вычисленное по данным выборки, принадлежит критической области, то гипотезу отвергают.
• Если наблюдаемое значение не принадлежит критической области, то нет оснований отвергать гипотезу.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, позволяющие по a найти критические точки z_kp, удовлетворяющие требованию (7.1).

Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения

Сравнение исправленной выборочной дисперсии с генеральной дисперсией

В нулевой гипотезе (7.2) принимается, что математическое ожидание исправленной выборочной дисперсии равно предполагаемой генеральной дисперсии. В качестве статистического критерия проверки нулевой гипотезы принимают… Эта величина случайная, так как в разных опытах S2 принимает различные значения, имеет распределение по закону «Хи –…

Часть 4. Алгоритмизация и программирование

Глава 8. Основы алгоритмизации

Понятие и свойства алгоритма

Алгоритм – одно из фундаментальных понятий информатики. Алгоритмизация наряду с моделированием выступает в качестве общего метода информатики. Алгоритмы являются объектом систематического исследования пограничной между… Основными свойствами алгоритмов являются:

Таблица блоков

Таблица 8.1

№	блок	Назначение блока	комментарий {блоку соответствует оператор}
		Начало или конец блок-схемы	-
		Ввод данных с клавиатуры	ввода
		Процесс (в частности вычислительный)	присваивания
		решение	условия
		вывод	вывода
		Модификатор цикла	цикла
		Типовой процесс	Процедура, функция

Примечание.

В блок-схемах ввод и вывод может быть представлен в виде параллелограмма.

Алгоритмизация выступает как набор определенных практических приёмов, особых специфических навыков рационального мышления в рамках заданных языковых средств. Алгоритмизация вычислений предполагает решение задачи в виде последовательности действий, т.е. решение, представленное в виде блок-схемы. Можно выделить типичные алгоритмы. К ним относятся:

• Линейные алгоритмы;
• Разветвляющиеся алгоритмы;
• Циклические алгоритмы;

Из перечисленного списка простейшими является линейные алгоритмы.

Задачи, приводящие к линейным алгоритмам, рассматриваются в примере, представленном в виде блок-схемы на рис. 8.1.

Линейные алгоритмы

Задача 1. Вычислить и вывести на экран значение функции:

Y = sin (2 ×p×x) / (a + x) × b;

Представить выполнение задачи в виде блок-схемы.

Решение.

На рис. 8.1 представлена блок-схема для задачи 1.

Рис. 8.1. Блок-схема линейного алгоритма

Ветвления

Пример 2. Найти максимальное значение из трёх различных целых чисел, введенных с… Представить выполнение задачи в виде блок-схемы.

Циклы. Повтор с заданным количеством циклов

Дано количество циклов n. Требуется найти произведение значений счётчика цикла. В этом примере известно количество циклов. Поэтому произведение будет равно…

Глава 9. Программирование на Паскале

Паскаль – алгоритмический язык высокого уровня – был разработан в конце 60-х годов проф. Виртом (Швейцария). Язык получил название в честь французского математика и философа Блеза Паскаля [1623–1662]. В 80-е годы на основе Паскаля был разработан Turbo Pascal. Turbo – это торговая марка разработчика фирмы Borland.

Turbo Pascal – это система программирования, которая представляет собой единство двух самостоятельных составляющих:

1) Компилятора языка программирования Паскаль.

2) Инструментальной программной оболочки, способствующей повышению эффективности создания программ, т.е. среды Turbo Pascal.

Таким образом, компилятором реализуется язык программирования Turbo Pascal, а разнообразные сервисные услуги обеспечиваются инструментальной программной оболочкой.

Конструкция языка Turbo-Pascal

Алфавит

1) латинский шрифт;

2) русский шрифт;

3) цифры (0 ¸ 9);

4) символы:

а) знаки арифметических операций (+ – * /), нет возведения в степень;

б) знаки логических отношений (<,>,<=,>=,<>);

в) разделители (, . ; :);

г) прочие символы.

Данные и типы данных

1) Константы – const. 2) Переменные – var. Константам и переменным даётся имя, которое называется идентификатором. С другой стороны в зависимости от вида данных…

Стандартные функции

Таблица 9.1 Матем. запись sin x cos x arctg x ex | x | ln x x2 …   Примечания.

Арифметические, логические, символьные выражения

А) Арифметические выражения

Пример арифметического выражения.

.

В Турбо Паскале есть все 4 арифметические операции над числовыми переменными:

а) + сложение; б) – вычитание;

в) * умножение; г) / деление вещественное;

Для данных типа INTEGER в Турбо Паскале есть еще операции деления:

д) MOD получение остатка от целочисленного деления,

е) DIV частное от целочисленного деления.

Пример, найти частное A/Z, на Паскале имеет вид: A div Z .

Пример, найти остаток от деления A/Z, на Паскале имеет вид: A mod Z .

F:=17 DIV 5; – деление нацело, ответ: 3;

R:=17 MOD 5; – остаток от деления нацело, ответ: 2.

Б) Логические выражения

Пример логических выражений:

(A>0) and (B>0) означает (А и В больше нуля).

(A>0) or (B>0) означает (А или В больше нуля).

В Турбо Паскале определены следующие логические операции:

а) not – логическое НЕ (логическое отрицание);

б) and ­­­­­–– логическое И (конъюнкция или логическое умножение);

в) or – логическое ИЛИ (дизъюнкция или логическое сложение);

г) xor – исключительное ИЛИ;

д) EQV – эквивалентность;

е) IMP-импликация (если…, то…).

Логические операции применимы к операндам целого и логического типов. Если операнды – целые числа, то результат логической операции есть тоже число. Логические операции над логическими данными дают результат логического типа. Следует учесть, что в отличие от многих других языков программирования в Турбо Паскале логические операции имеют более высокий приоритет, чем операции отношения. В связи с этим, в сложных логических выражениях обычно необходимо расставлять скобки.

Структура программы на языке Паскаль

PROGRAM Pr; {Заголовок не обязателен} {Раздел описаний} Begin {Начало раздела операторов}

Основные операторы Паскаля

Оператор присваивания

В левой части оператора присваивания указывается имя переменной, правая часть представляет собой выражение того же типа, что и переменная. Пара символов «:=», связывающая левую и правую части оператора присваивания, означает «ПРИСВОИТЬ ЗНАЧЕНИЕ». В операторах присваивания Турбо Паскаля всегда используются символы «:=», в то время как при описании констант – одиночный символ «=». С точки зрения синтаксиса языка, два символа «:=» рассматриваются как один специальный символ и обязательно пишутся слитно.

Пример оператора присваивания: R: =cos(x)+ln(y);.

Оператор присваивания выполняется в два этапа:

1. Первый этап – выполнение правой части, т.е. в примере вычисляется арифметическое выражение.

2. Второй этап – присвоение результата левой части, т.е. в примере переменной R присваивается число, полученное при вычислении арифметического выражения.

Операторы ввода

В Паскале нет специальных операторов ввода-вывода. Для обмена информацией в программах Паскаля используются специальные встроенные процедуры, которые не нуждаются в предварительном описании. Таким образом, все операторы ввода-вывода являются операторами обращения к встроенным процедурам ввода или вывода данных.

По операторам READ, READLN вызывается встроенная процедура ввода данных и программа останавливается в ожидании ввода. В этот момент необходимо набрать на клавиатуре нужное число и нажать клавишу «Ввод».

Операторы вывода

Основное назначение этих операторов – вывод результатов выполнения программы. Оператор вывода WRITE выводит строку на экран и оставляет курсор в конце выведенной строки. Если в программе несколько операторов WRITE, то вывод осуществляется в одну строку.

Оператор вывода WRITELN выводит в отдельную строку, после вывода результата осуществляет перевод строки и устанавливает курсор в начало следующей строки экрана. Пример записи оператора вывода переменных X,Y,Z:

WRITELN(X,Y,Z);

Если в программе необходимо вывести текст на экран, следует этот текст взять в апострофы. В частности подсказка на экран для ввода данных записывается оператором:

WRITELN(‘ввести X,Y,Z’);

Комментарий

Комментарий в Турбо Паскале – это произвольная последовательность любых символов, обрамленная фигурными скобками. Комментарий разрешается вставлять в любое место программы, где по смыслу должен стоять пробел. В качестве ограничителей комментария допускается использование фигурных скобок «{» и «}», а также пары символов «(*» – слева от комментария и «*)» – справа от него:

{Это – комментарий}. (*Это тоже комментарий*).

Программы линейных алгоритмов

Пример 1.

Вычислить: . Значение А ввести в градусах.

Решение.

PROGRAM PR1;

VAR

r,a,x,y:real;

BEGIN

{линейный алгоритм}

Writeln (‘ввести a, x, y’);

Read (a, x, y);

a:=a*pi/180;

r:=(ln(x)*ln(x)-cos(a*a)+sqrt(y+x*x)) / ((exp(x)+exp(-x))/2);

Writeln (‘r=’, r: 9:5, ‘a=’, a: 7: 3,’x=’, x: 7:3,’y=’, y: 7: 3);

END.

В данной программе переводится значение переменной А из градусов в радианы. Вывод делается с фиксированной точкой с указанием количества позиций под число и под дробную часть числа.

Операторы передачи управления

Назначение операторов передачи управления заключается в организации ветвлений в программе: условных или безусловных. С помощью этих операторов вычислительный процесс передается в указанную оператором точку программы по указанному в операторе условию либо без условия.

Оператор безусловного перехода

Действие оператора GOTO состоит в передаче управления соответствующему оператору. Структура оператора:

GOTO метка;

Метка в Турбо Паскале – это произвольный идентификатор, позволяющий именовать некоторый оператор программы и таким образом ссылаться на него. Метка располагается непосредственно перед помечаемым оператором и отделяется от него двоеточием. Перед тем как появиться в программе, метка должна быть задана в разделе описанания. Описание меток состоит из зарезервированного слова LABEL (метка), за которым следует список меток.

Пример 2.

LABEL 1; {в разделе описания};

goto 1; {в разделе операторов} {перейти на метку 1}

1: read(x,y); {строка с меткой 1 в разделе операторов}

При исполнении меток необходимо руководствоваться следующими правилами:

1) метка, на которую ссылается оператор GOTO, должна быть задана в разделе описаний и она обязательно должна встретиться где-нибудь в теле программы;

2) метки, описанные в процедуре (функции), локализуется в ней, поэтому передача управления извне процедуры (функции) на метку внутри нее невозможна.

Однако в программировании не рекомендуется использование оператора Goto, т.к. это затрудняет понимание программ, делает ее запутанной и сложной в отладке. Современная технология структурного программирования основана на принципе программирования без GOTO.

Операторы условного перехода

Структура условного оператора имеет следующий вид:

IF <условие> THEN <оператор 1> ELSE <оператор 2>;

где: IF, THEN, ELSE – зарезервированные слова (если, то, иначе);

<условие> – произвольное выражение логического типа;

<оператор 1>, <оператор 2> – любые операторы языка Турбо Паскаль.

Условный оператор работает по следующему алгоритму. Вначале вычисляется условное выражение <условие>. Если результат есть TRUE (истина), то выполняется <оператор 1>, а <оператор 2> пропускается; если результат есть FALSE (ложь), наоборот, <оператор 1> пропускается, а выполняется <оператор 2>. Поскольку любой из операторов <оператор 1> и <оператор 2> может быть любого типа, в том числе и условным, а в то же время не каждый из «вложенных» условных операторов может иметь часть ELSE <оператор 2>, то возникает неоднозначность трактовки условий. Эта неоднозначность в Турбо Паскале решается следующим образом: любая встретившаяся часть ELSE соответствует ближайшей к ней «сверху» части THEN условного оператора. Условный оператор позволяет проверить некоторое условие и в зависимости от результатов поверки выполнить то или иное действие. Таким образом, условный оператор – это средство ветвления вычислительного процесса.

А) Простой, короткий IF (если)

Структура оператора имеет вид:

1) IF (условие) THEN (оператор или метка);

Пример 3.

Вычислить y: = ln x , если x > 0.

Написать программу вычисления функции.

Решение.

Программа имеет вид.

Program PR3;

var y, x : real;

begin

writeln(‘ввести x’);

Readln (x);

{простой, короткий IF}

IF x > 0 THEN y: = ln(x);

writeln ( `x=`, x: 7:2, `y=`, y :7 :2 );

end.

B) Простой, полный IF

Пример 4.

Вычислить y = ln x , если X>0, иначе y=cos x.

Написать программу вычисления функции.

Решение.

В примере 4 рассматривается не только вариант «тогда», но и «иначе».

Программа имеет вид:

Program PR4;

var x, y: real;

begin

writeln(‘ввести X’);

Readln (X);

{простой, полный IF}

if x>0 THEN y:= ln (x)

ELSE y:=cos(x);

Writeln (`x = `, x:6:2 , `y = `, y:7:2)

end.

Если Х > 0, тогда выполняется оператор за словом THEN, иначе выполняется оператор, следующий за этой строкой.

C) Cоставной, короткий IF

Составной оператор – это последовательность произвольных операторов программ, заключенная в операторные скобки – зарезервированные слова BEGIN…END. Составные операторы – важный инструмент Турбо Паскаля, дающий возможность писать программы по современной технологии структурного программирования (без перехода GOTO).

Язык Турбо Паскаль не накладывает никаких ограничений на характер операторов, входящих в составной оператор.

Пример 5.

Вычислить y=ln x, z=y–5×x, если x > 0.

Написать оператор условия вычисления функции.

Решение.

Оператор условия запишется в виде:

IF x>0 then

Begin

y:=Ln(x);

z:=y–5*x;

Writeln (`y = `, y:7:2, `z =`, z:8:3)

end;

D) Составной, полный IF

Пример 6.

Рассмотрим задание примера 4, но вывод делается для каждого условия.

Решение.

Оператор условия запишется в виде:

IF x>0 then

Begin

Y:=ln (x);

Writeln (`x = `, x:6:2 ,`y =`, y:7:2);

End

Else

begin

Y:=cos (x);

Writeln (`x = `, x:6:2,`y =`, y:7:2);

End;

В примере 6 после слов then, еlseоператоры заключены в операторные скобки.

E) Структурированный (разветвленный) IF

В структурированном операторе содержится последовательная проверка вложенных условий. Пример 7. Вычислить r=ln(x+y+z), если x > 0, y > 0, z > 0.

Оператор выбора варианта

Оператор выбора позволяет выбрать одно из нескольких возможных вариантов программы. Параметром, по которому осуществляется выбор, служит ключ выбора – выражение любого порядкового типа (любого из рассмотренных, кроме типов REAL и STRING).

Структура оператора выбора такова:

CASE <ключ выбора> OF

<список выбора>

[else <оператор>]

End;

где CASE – случай, of – из,

<ключ выбора> выражение типа целые;

<оператор> – произвольный оператор Турбо Паскаля.

Оператор выбора работает следующим образом. Вначале вычисляется значение выражения <ключ_выбора>, а затем в последовательности операторов <список_выбора> отыскивается такой, которому предшествует константа, равная вычисленному значению. Найденный оператор выполняется, после чего оператор выбора завершает свою работу. Если в списке выбора не будет найдена константа, соответствующая вычисленному значению ключа выбора, управление передается оператору, стоящему за словом ELSE.

Пример 11.

Вывести разные функции в зависимости от значения переменной n, введённой с клавиатуры. Написать программу с использованием оператора выбора CASE.

Решение.

Program Pr11;

Var

n: integer;

a, b, y, z: real;

begin

writeln (‘n, a, b’);

read (n, a, b);

y:=a+b; z:=a-b;

CASE n of

1, 2, 5: writeln (y);

7..10: writeln (z);

else writeln (‘ вне области определения n’);

end;end.

При значении n=1, 2, 5 программа выведет значение y. При значении n={7, 8, 9, 10}(одному из списка) программа выведет значение z, иначе выведет текст ‘вне области определения n’ .

Пример 12.

Вывести разные функции в зависимости от значения переменной k. Если переменная k лежит в пределах [1¸10], вычислить y: = cos (x); z:=y+x; и вывести результат. Если переменная k лежит в пределах [11;20], вычислить y: = sin(x); и вывести результат. Написать программу с использованием оператора выбора CASE.

Решение.

Program Pr12;

Var

K: integer;

x, y, z: real;

begin

writeln (`x, k`); readln (x, k);

case k of

1..10: begin y:=cos (x); z:=y+x; writeln (y,z); end;

11..20: begin y:=sin(x); writeln (y); end;

else

writeln (`вне области переменной к`);

end; end.

Разветвляющийся алгоритм

Пример 13.

Дана точка А (x,y) с координатами x,y, не равными нулю.

Найти четверть, в которой находится эта точка. Написать программу.

Решение.

Program Pr 13;

Var

x,y: integer;

Begin

writeln(‘ввести координаты т. А: x,y’);

Readln (x,y);

IF (x>0 ) and (y>0) then writeln (‘т. A находится в 1 четверти’)

else

IF (x>0) and (y<0) then writeln (‘т. А в 4 четверти’)

else

IF y>0 then writeln (т. А во 2 четверти’)

else writeln (‘ т. А в 3 четверти’);

End.

Каждому ELSE соответствует предыдущее свободное then.

Операторы цикла

Оператор цикла с параметрами

Счетный оператор цикла FOR имеет такую структуру:

а) FOR i:=a TO b DO <оператор>;

Здесь FOR, TO, DO – зарезервированные слова (для, до, выполнить);

i – переменная цикла типа INTEGER;

a – начальное значение переменной цикла (тип INTEGER);

b – конечное значение переменной цикла (тип INTEGER);

<оператор> – произвольный оператор Турбо Паскаля.

Шаг изменения параметра цикла равен единице.

Алгоритм выполнения оператора цикла с параметрами при выполнении оператора FOR:

1. вначале осуществляется присваивание i:=a;
2. проверяется условие i > b;если это условие выполняется, то следует выход из цикла, иначе на пункт 3;
3. выполняется тело цикла;
4. счётчик увеличивается на единицу: i:=i + 1;
5. переход на 2;
6. после этого цикл повторяется или заканчивается.

Пример 14.

Найти сумму значений переменной цикла. Фрагмент программы с оператором цикла запишется в виде:

For i:= 1 to 10 do s:=s+i;

Writeln(‘s=’, s);

В примере 14 рассматривается простой оператор цикла.

Счётный оператор цикл FOR может иметь такую структуру:

б) FOR i: = b DOWNTO a DO <оператор>;

Замена зарезервированного слова TO на DOWNTO означает, что шаг наращивания переменной цикла равен (-1).

Пример 15.

Найти сумму значений переменной цикла.

Фрагмент программы с оператором цикла запишется в виде:

For i:=10 to 1 downto s:=s+i;

Writeln(‘s=’,s:8:3);

{Результат получится тот же, что и в примере 14}.

Правила оператора FOR.

1. Нельзя войти в цикл, минуя оператор FOR.
2. Нельзя изменять параметры цикла (a,b) внутри цикла.
3. Параметры цикла и переменная цикла должны быть целыми.
4. Шаг цикла может быть единица или минус единица.
5. Естественное окончание цикла осуществляется при условии i > b для а).
6. Из цикла можно выйти до естественного окончания цикла по условию.

Оператор цикла WHILE с предусловием

Структура оператора имеет вид:

WHILE <условие> DO <оператор>;

Здесь WHILE, DO – зарезервированные слова:

WHILE – пока; DO – выполнить,

<условие> – выражение логического типа;

<оператор> – произвольный оператор Турбо Паскаля.

Если выражение <условие> имеет значение TRUE, то выполняется <оператор>, после чего вычисление выражения <условие> и его проверка повторяются. Если <условие> имеет значение FALSE, оператор WHILE прекращает свою работу.

Пример 16.

Переписать фрагмент примера 14, используя оператор цикла с предусловием. Фрагмент программы с оператором цикла запишется в виде:

s:=0;i:=1;

while i<=10 do

Begin

s:=s+i;

i:=i+1;

End;

Writeln(‘s=’,s);

В примере 16 рассматривается составной оператор цикла, тело цикла заключено в операторные скобки.

Оператор цикла REPEAT…UNTIL с постусловием

Структура оператора имеет вид:

REPEAT <тело_цикла> UNTIL <условие>;

Здесь REPEAT, UNTIL – зарезервированные слова (повторять до тех пор, пока не будет выполнено условие);

<тело_цикла> – произвольная последовательность операторов Турбо Паскаля; <условие> – выражение логического типа.

Операторы <тело_цикла> выполняются хотя бы один раз, после чего вычисляется выражение <условие>: если его значение есть FALSE, операторы <тело_цикла> повторяются, в противном случае оператор REPEAT…UNTIL завершает свою работу.

Пример 17.

Выполнить задание примера 16.

Фрагмент программы с оператором цикла запишется в виде:

s:=0; i:=1;

repeat

s:=s+i;

i:=i+1;

Until i>10;

Writeln(‘s=’,s); В примере 17 цикл выполняется пока переменная i £ 10, при i>10 цикл закончится.

Программы циклических алгоритмов

Задача. Написать программу вычисления и вывода таблицы значений функции y=cos(x). Переменная х изменяется в интервале от x₁=0 до x_k= 2 с шагом dx= 0,2.

Пример 18.

В данной программе используется оператор цикла с параметрами.

PROGRAM PR18;

Var

x,y,dx,x1,xk:real;

i, n :integer;

begin

{циклический алгоритм}

writeln (‘ввести начальное – x1, конечное – xk, шаг – dx’);

read (x1,xk,dx);

n:=trunc((xk-x1)/dx+1);

x:=x1;

{оператор цикла с параметрами}

for i:=1 to n do

begin

y:=cos(x);

Writeln (‘x= ’, x:8:5, ‘y= ’, y:8:5);

x:=x+dx;

End; {конец оператора цикла с параметрами}End.

Массивы

Понятие и описание массива

Если для выделения элемента нужен 1 индекс, массив называется одномерным, два – двумерным и т.д. Число элементов массива называется длиной или… Массивы относятся к структурированным типам данных. В программе массив можно… а) непосредственно в разделе описаний переменных:

Ввод и вывод элементов массивов

Пример 21. Ввести с клавиатуры значения элементов одномерного массива вещественного типа… program PR22;

Операции с массивами

В Паскале есть лишь одна операция, которую можно делать с массивом целиком – это операция присваивания. Но для этого массивы должны быть совершенно одинаковы, то есть описаны в одной строке VAR или TYPE.

Все остальные операции производятся только с отдельными элементами массива. С элементами массива можно делать все операции, которые разрешены для базового типа массива: если массив числовой, то математические, если символьный или строковый, то, соответственно, операции с символьными или строковыми переменными.

Пример 23.

Требуется найти максимальный и минимальный элементы одномерного массива вещественного типа. Алгоритм поиска минимума: вводим переменную MIN, в которую записываем 1-ый элемент массива. Затем в цикле сравниваем каждый последующий элемент с MIN. Если число, хранящееся в текущем элементе, меньше хранящегося в MIN, то число из текущего элемента записываем в MIN. Аналогичен алгоритм поиска максимума, только вместо «меньше» ставим «больше». Написать программу.

program PR23;

var

z: array[1..100] of real;

n,k: integer;

max, min: real;

Begin

Writeln(‘ввести количество элементов массива n’);

readln (n);

for k:=1 to n do

readln (z[k]);

max:=z[1];min:=z[1];

for k:=1 to n do

if z[k]>max then max:=z[k]

else if z[k]<min then min:=z[k];

writeln(’max=’, max:8:3, ’ min=’, min :8:3);

end.

Пример 24.

Для двумерного массива состоящего из N строк и N столбцов:

а) найти сумму элементов M-столбца;

б) найти произведение элементов K-строки.

Значения К и M вводить с клавиатуры

program PR24;

type

mas=array[ 1.. 10, 1..10] of integer;

var

a:mas;

s, p, i, j, n, k, m :integer;

begin

writeln(’ввести количество строк и столбцов n’);

readln(n);

for i := l to n do

for j := l to n do

begin

writeln(’ввести элемент массива a[’,i ,’, ’,j ,’]= ’);

read (a[i, j]); {ввод элемента массива}

writeln(a[i, j]); {вывод элемента массива}

end;

writeln (’ввести номер строки-k и столбца-m’);

read (k, m);

s:=0; p:=1;

for i:=1 to n do

s:=s+a[i, m]; {сумма элементов столбца m}

for j:=1 to N do

p:=p*a[k, j]; { произведение элементов строки k}

writeln(’s=’,s, ’p=’,p));

end.

При выполнении операций с фиксированной строкой первый индекс не меняется, при суммировании по столбцу второй индекс не меняется.

Пример 25.

Сформировать одномерный массив, каждый k-й элемент которого равен произведению элементов соответствующей k-й строки двумерного массива.

program PR25;

var

A: array[1..10,1..10] of integer;

B: array[1..10] of integer;

N, M, k, j: integer;

begin

writeln(’введите количество строк N, столбцов M’);

readln (N,M);

for k:=1 to N do

for j:=1 to M do

begin

writeln(’ввести элемент массива A[‘, k , ‘,’, j ,’ ]’);

readln (A[k,j]);

end;

for k:=l to N do

begin

В[k]:=1;

for j:=1 to M do

В[k]:=В[k]*A[k,j];

end;

for k:=l to N do

write(B[k]);

end.

Пояснение к программе:

После ввода массива в следующем цикле накапливается произведение элементов каждой строки во внутреннем цикле оператором: B[k]:=B[k]*A[k,j];. Но перед этим необходимо во внешнем цикле задать начальное значение элемента нового массива оператором B[k]:=1;.

9.10. Вопросы для самоконтроля по теме «Программирование»

1. Укажите правильно записанный оператор присваивания на Паскале:

a) z:= cos(x) + ln(y);

b) cos(x): = z+ ln(y);

c) z =cos(x)+log(y);

d) a+b:=c+d.

2. Укажите правильно записанный оператор присваивания на Паскале:

a) x+z:= sin(x)+ln(y);

b) z+ ln(y):=w;

c) w :=sin(x)+sqr(g);

d) v-b:=w*d.

3. Укажите правильно записанный оператор присваивания на Паскале:

a) v:=e^x+tg(z);

b) v:=exp(x )+sin(x)/cos(x) ;

c) v:=exp(x )+sin/cos(x) ;

d) m/b+s:=w*d- ln(y).

4. Укажите правильно записанный оператор ввода:

a) WRITE ('Введите Х', X);

b) WRITE (X);

c) READ (X);

d) REAL(X).

5. Вывести на экран число, хранящееся в переменной Х:

a) READ (X);

b) WRITE (X);

c) READ ('Выведите Х=', X);

d) REAL(X).

6. Дана функция r=tg x-ln_ay; которая записана на Паскале.

Выбрать строку без ошибок:

a) r:=tg(x) –ln(y)/a;

b) r:=tan(x) –ln(y)/ln(a);

c) r:=sin(x)/cos(x) - ln(y)/ln(a);

d) r:= cos(x)/sin(x) - ln(a)/ln(y).

7. В строке представлено:

В : ARRAY[1..5,1..5] OF INTEGER;

a) ввод массива;

b) вывод массива;

c) описание одномерного массива;

d) описание двумерного массива.

8. Дана функция f=ctg a + ln x; которая записана на Паскале.

Выбрать строку без ошибок:

a) f:=ctg(a) +ln(x);

b) f:=sin(a)/cos(a) + log(x);

c) f:=ctg(a)+lg(x);

d) f:=cos(a)/sin(a) +ln(x).

9. Выбрать строку, в которой допущена ошибка:

a) c:= z mod x +a*f;

b) c:=arctan(b) - abs(r);

c) c:=sqr(b) + exp(-a*b);

d) c:= log(x) +cos(a)/d.

10. Выбрать строку, в которой допущена ошибка:

a) q:=tan(x) - ln(c)*z;

b) q:=exp(y)+sqr(a)/z;

c) q:=arctan(f) +sqrt(h);

d) q:=int(K) +round(m).

11. Дана функция r=tg x + ln x, которая записана на Паскале. Выбрать строку без ошибок:

a) r:=tg(a) +ln(x);

b) r:=sin(a)/cos(a) + ln(x);

c) r:=tan(a)+lg(x);

d) r:=cos(a)/sin(a) +ln(x).

12. В строке программы на Паскале

IF X<0 THEN Y:=sqr(X) ELSE Y:=sqrt(X)

рассматривается оператор:

a) простой короткий условный;

b) простой полный условный;

c) составной условный;

d) присваивания.

13. В строке программы на Паскале

IF X>0 THEN Y:=LN(X);

рассматривается оператор:

a) простой короткий условный;

b) простой полный условный;

c) составной;

d) присваивания.

14. Выбрать правильно записанный оператор условия: если x<0 , тогда y=cos(x):, иначе y=x, x>=0:

a) IF X< 0 THEN Y:=cos(X) ELSE Y:=X;

b) IF X<0 THEN Y:=cos(X) ELSE X;

c) IF Y≤X<0 THEN Y:=X;

d) IF X>0 THEN Y=X ELSE cos(X).

15. Дан оператор на Паскале: FOR k:=3 TO m DO S:=S+k;.

Для выполнения цикла значение m должно быть:

a) m<k; b) m=s; c) m>=k; d) m<=k.

16. Дан оператор на Паскале: FOR k:=1 TO m DO S:=S+k;.

Всего циклов будет выполнено:

a) k; b) s; c) m; d) 1.

17. Дан оператор на Паскале: FOR k:=1 TO m DO s:=s+k;.

Выберите условие выхода из цикла:

a) k = 1 ; b)k = m; c) k ³ m; d) k >m.

18. Строка на Паскале: while k <=m do; относится к операторам:

a) условия; b) цикла; c) вывода; d) ввода.

19. В строке представлено:

В : ARRAY[1..7] OF INTEGER;

a) ввод массива;

b) вывод массива;

c) описание одномерного массива;

d) описание двумерного массива.

Литература

1. Васильев П.П. Турбо Паскаль в примерах и задачах./ П.П. Васильев – М.: Финансы и статистика. 2006. – 236с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика./ В.Е. Гмурман – М.: Высш.шк. 2005. – 479с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике./ В.Е. Гмурман – М.: Высш.шк. 2005. – 400 с.
4. Ильин В.А.Математический анализ. /Классический университетский учебник. Часть 1. Ильин В.А, Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. – М.: ТК Велби. 2004. – 400с.
5. Культин Н.Б.Программирование в среде Turbo Pascal 7.0. / Н.Б. Культин – BHV – Санкт – Петербург. 2003г. – 234с.
6. Марченко А.И. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0./ А.И. Марченко – М.: Бином универсал. 2004г. – 506с.
7. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики./ В.Н. Сачков – М.: МЦНМО. 2004. – 424с.
8. Стойлова Л.П. Математика: учебник для вузов./ Л.П. Стойлова – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 424с.
9. Турецкий В.Я. Математика и информатика./ В.Я. Турецкий –3- изд. – М.: ИНФРА – М. 2000. – 560с. – (Серия «Высшее образование»)
10. Фаронов В.В. Основы Турбо-Паскаля. / В.В. Фаронов; МВТУ – М.: ОМД Группа. 2005.
11. Фаронов В.В.Практика программирования в среде Turbo Pascal 7.0. / В.В. Фаронов; МВТУ – М.: ОМД Группа. 2004.
12. Фаронов В.В. Турбо-Паскаль 7.0 Начальный курс. / В.В. Фаронов – М.: ОМД Группа. 2005, 2002. – 132 с.
13. Теория вероятностей. Математическая статистика: учебное пособие/ Л.И Лазарева [и др.].– Томск: Изд. ТПУ. 2002. – 132 с.

Приложениe 1

    x Ф(x) x Ф(x) x …

Приложениe 2

  Число степеней свободы k Уровень значимости a (двусторонняя крит. область) 0,10 0,05 0,02 …

Приложениe 3

    Эльвира Валентиновна Егорова

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

 

Подписано в печать. Формат 60x80/16

Печать оперативная. Усл.п.л. 4. Уч.-изд.л. 4

Тираж 200 экз.

 

Толяттинский государственный унивеситет

Тольятти, Белорусская,14