рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Аксиоматическое построение математической теории

Аксиоматическое построение математической теории - раздел Информатика, МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по всему курсу При Аксиоматическом Способе Построения Какой-Либо Математической Теории Соблю...

При аксиоматическом способе построения какой-либо математической теории соблюдаются следующие правила:

  1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.
  2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.
  3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.
  4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага:

Первый шаг: Задаётся некоторое множество первичных понятий (терминов).

Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.

Третий шаг: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.

Четвёртый шаг: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

Таким образом, выстраивается алгоритм аксиоматического построения теории:

  • Первичные понятия.
  • Аксиомы.
  • Определения.
  • Теоремы.

Соответственно можно на примерах рассмотреть какое утверждение в математике относится к одной составляющей из выше приведенного списка.

Примеры первичных понятий.

К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся: точка, прямая, плоскость.

Примеры аксиом.

Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Примеры определений.

Определение 1: Высказывания, данные через первичные неопределяемые понятия или через некоторые другие ранее известные утверждения, называются определениями.

Определение 2: Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются аксиомами.

Определение 3: Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях, выведенные чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений, называются теоремами.

Определение 4: Простым числом называется такое натуральное число, больше единицы, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

Примеры теорем.

Теорема 1. Если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.

Теорема 2. Диагонали у прямоугольника равны.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, по названым выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно. При аксиоматическом построении теории, по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом.

Главным требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, чтобы, сделав вывод теорем на основе этих аксиом, доказанные теоремы не противоречили друг другу. Система аксиом должна быть полной и независимой, При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Большинство интерпретаций для математических теорий (в частности, для арифметических) строятся на базе теории множеств. Поэтому очень важно, чтобы теория множеств была непротиворечивой. Аксиоматическая теория основных структур математики является инструментом, с помощью которого раскрывается теоретико-множественный смысл каждого понятия.

1.3. Вопросы для самоконтроля по теме «Аксиоматический метод»

  1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
  • Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  • Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
  1. К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся:
  • Луч, треугольник, плоскость.
  • Точка, отрезок, плоскость.
  • Фигура, плоскость, луч.
  • Точка, прямая, плоскость.
  1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
  • В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
  • Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник.
  • Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
  1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
  • Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
  • Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и все точки её лежат в той же плоскости.
  1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
  • Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют ещё хотя бы одну общую точку.
  • Диагонали у прямоугольника равны.
  • Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
  1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
  • Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника.
  • Около любого треугольника можно описать окружность.
  • Две точки определяют только одну прямую.
  1. Выбрать из списка первый шаг при построении аксиоматической теории:
  • Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
  • При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
  • Задается некоторое множество первичных понятий.
  • Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
  1. Выбрать из списка второй шаг при построении аксиоматической теории:
  • Задается некоторое множество первичных понятий.
  • При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
  • Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
  • Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
  1. Выбрать из списка третий шаг при построении аксиоматической теории:
  • При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
  • Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
  • Задается некоторое множество первичных понятий.
  • Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
  1. Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются:
  • Определениями.
  • Первичными понятиями.
  • Аксиомами.
  • Теоремами.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по всему курсу

Автомеханический институт... Кафедра Компьютерные технологии и обработка материалов давлением... Егорова Э В...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Аксиоматическое построение математической теории

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
  УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по всему курсу   Тольятти 2008 УДК 51: 004 (075.8) ББК 22.18+32.81 Е Егорова, Э.В.

Понятие аксиоматического метода
Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства как верное. Аксиоматический метод – способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющ

Понятие множества
Главные математические понятия: точка, прямая, множество, функция, вектор, уравнение, отношение и т.д. образуют основания математики. В каждом разделе математики используется какое-то понятие из ос

Отношения между множествами
В математике часто используется для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями термин «отношение». Примеры отношений: отношение равенства между двумя или несколькими переменными, ф

Алгебраические свойства операций над множествами
После изучения операций над множествами следует рассмотреть свойства этих операций и связи между ними. Эти свойства во многом аналогичны свойствам обычных операций сложения и умножения чисел. Свойс

Декартово произведение множеств. Бинарные отношения
Отношения между двумя и более множествами рассматриваются в разделе 2.3.1. Данная операция позволяет их сравнивать и делать вывод о равенстве или включении одного множества в другое. Известно, если

Символический язык логической структуры математических предложений
Математика описывает исследуемые процессы, используя кроме словесного языка символический. Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой, причем они взаимосвязан

Перестановки
Задачи, связанные с перестановками, относятся к задачам комбинаторики. Например, перестановка книг на полках. В таких задачах подсчитывается количество возможных вариантов перестановок, причем в ка

Размещения
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи имеет значения, то имеют дело с «задачей о рассаживании»: группу из n человек следует рассадить в аудитории за ка

Сочетания
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся одинаковыми.

Алгебра случайных событий
Между случайными событиями и множествами существует связь. Совокупность элементарных событий можно назвать множеством (пространством) элементарных исходов, которое обозачается: W. Соответственно, п

Аксиомы теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности
Систему аксиоматического обоснования определения вероятности построил А.Н. Колмогоров в 1933 г. Числовая функция Р(А), заданная на алгебре F – подмножеств пространства элементарных исходов

Сложение вероятностей несовместных событий
Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В или обоих этих событий. Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных со

Умножение вероятностей независимых событий
Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий. Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность сов

Вероятность появления хотя бы одного события
Вероятность того, что произойдет, по крайней мере, одно из событий , определяется по формуле:

Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность
Условной вероятностью, которая обозначается РA(В) или Р(В/А), называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Сложение вероятностей совместных событий
Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны

Формула Байеса
Пусть произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Вероятность события А можно вычислить по формуле (4.13). Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероя

Понятие случайной величины
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайнойназывают величину, которая в результате испытания примет одно возможное

Закон распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим дискретную случайную величину на примере. Пример 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной величиной Х. Возможные значения

Числовые характеристики дискретных случайных величин
1) Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х это сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал [a,b] и составить перечень всех возможных её значений невозможно, то она называется непрерывной. В результате этого появ

Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин
На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распре

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу, вычисляется по формуле (5.9а). Подставив в формулу (5.

Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины
Задачи вычисления вероятности отклонения нормальной случайной величины от заданного значения связаны с различного рода ошибками (измерения, взвешивания). Ошибки разного рода обозначаются переменной

Предмет и задачи математической статистики
Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, при этом сама математическая модель считается заданной. В задачах теории вероятностей исходят из того, что задано вероятностное

Полигон и гистограмма
Генеральной совокупностью называют полный набор всех возможных N значений дискретной случайной величины Х. Практически сложно получить полную информацию о случайной величине. Поэтому случайным обра

Эмпирическая функция распределения
Понятие функции распределения было дано в разделе теории вероятности для случайной величины. Для выборки вводится понятие эмпирической функции распределения. Эмпирическая функция распределения (фун

Статистические оценки параметров распределения
Пусть дискретная случайная величина Х задана генеральной совокупностью. Требуется оценить количественные характеристики заданной совокупности: математическое ожидание, дисперсию и установить функци

Генеральная средняя и выборочная средняя
Пусть задана дискретная случайная величина Х в виде генеральной совокупности. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности:

Некоторые статистические распределения
При обработке статистических данных результаты сравнивают со статистикой, результаты которой известны. С помощью такой статистики можно получить информацию о случайной величине из выборки. В резуль

Распределение Стьюдента
Пусть случайная величина x распределена по стандартному нормальному закону N(0,1). Случайную величину x делят на корень из c2/k. Закон Стьюдента – это отношение

Интервальные оценки
В разделе 6.3 на примерах было показано определение выборочных числовых характеристик случайной величины: выборочной средней –`x, выборочной дисперсии – Dв, выборочного среднего квадрати

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины
Доверительным называют интервал (q*–e,q*+ e), который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью b, где, q* – статистическая характеристика, найденная по

Доверительные интервалы для математического ожидания при известной дисперсии
Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение s этого распределения известны. Требуется оценить неизвестное

Доверительные интервалы для математического ожидания при неизвестной дисперсии
Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия неизвестна. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервал

Сравнение исправленной выборочной дисперсии с генеральной дисперсией
Пусть из генеральной совокупности, распределенной нормально c неизвестной генеральной дисперсией s20, извлечена выборка объёма n и по ней найдена исправленная выборочная диспе

Понятие и свойства алгоритма
Алгоритм это последовательность арифметических, логических и прочих операций, необходимых для выполнения на ЭВМ. Применительно к ЭВМ алгоритм определяет вычислительный процесс, начинающейся с обраб

Ветвления
Разветвляющиеся алгоритмы редполагают проверку условий для выбора решения. Соответственно в алгоритме появится столько разветвлений, сколько условий. Во второй задаче рассматривается один из пример

Циклы. Повтор с заданным количеством циклов
Пример 3. Дано количество циклов n. Требуется найти произведение значений счётчика цикла. В этом примере известно количество циклов. Поэтому произведение будет равно р=1&ti

Данные и типы данных
Данные могут быть разделены на: 1) Константы – const. 2) Переменные – var. Константам и переменным даётся имя, которое называется идентификатором. С другой стороны в зави

Стандартные функции
Стандартные функции подразделяются на числовые, символьные и т.д. Числовые стандартные функции представлены в таблице 9.1. Таблица 9.1 Матем. запись

Структура программы на языке Паскаль
Структура программы на языке Паскаль имеет следующий вид: PROGRAM Pr; {Заголовок не обязателен} {Раздел описаний} Begin {Начало раздела операторов} {Раздел опера

E) Структурированный (разветвленный) IF
1) Структурированный, короткий, простой IF. В структурированном операторе содержится последовательная проверка вложенных условий. Пример 7. Вычислить r=ln(x+y+z),

Понятие и описание массива
Массивом называются упорядоченная последовательность однотипных объектов, обозначаемая одним именем. Чтобы выделить один из объектов (элемент) массива, надо указать имя массива и номер элемента в н

Ввод и вывод элементов массивов
Ввод и вывод массивов осуществляется поэлементно. Часто это делают с помощью циклов (обычно используется цикл FOR). Пример 21. Ввести с клавиатуры значения элементов одноме

Приложениe 1
Таблица значений функции    

Приложениe 2
Критические точки t-распределения Стьюдента   Число степеней свободы

Приложениe 3
Критические точки распределения c2 Число степеней свободы k Уровень значимости a 0,01

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги