Отношения между множествами - раздел Информатика, МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по всему курсу В Математике Часто Используется Для Обозначения Какой-Либо Связи Между Предме...
В математике часто используется для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями термин «отношение». Примеры отношений: отношение равенства между двумя или несколькими переменными, фигурами. В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними.
Определение 5: Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Утверждение, что множество В является подмножеством множества А, записывают так: ВÌА. Такая запись означает, что каждый элемент множества В является элементом множества А и множество В включено во множество А.
Пример 3. Пусть В {2, 4, 6} – множество чётных чисел, А{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – множество целых чисел. Следовательно, множество В включено во множество А, что записывается так: ВÌА, но множество А не включено во множество В, что записывается так: А Ë В. Например, множества {4, 8} и {6} являются подмножествами множества {2, 4, 6, 8}; а числа 2, 4, 6, 8 – его элементы.
Свойства включения множеств:
Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ Ì А.
Любое множество является подмножеством самого себя, т.е. для любого множества А справедливо включение А Í А.
Определение 6: Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого (A = B Û (A Ì B и В Ì А)). Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. При этом порядок перечисления элементов множества значения не имеет. Например. Равны множества {8,2,5}, {2,5,8} и {5,8,2}.
Если множество X равно множеству Y, то можно записать X = Y. В противном случае X ≠ Y. Другой пример. Даны множества: Z ={3,5,7}, Y = {7,5,3,5,7}. Они равны Z=Y, так как они состоят из одних и тех же элементов. Множество Z={3,5,7}, X={{7,5}, {3,5,7}} не равны Z≠X, так как элементами второго множества являются множества. Таким образом, данные множества состоят из элементов различной природы и не могут быть равны.
Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества. У любого множества есть обязательно хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти два подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество, отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества.
У пустого множества нет собственных подмножеств, а оба несобственных подмножества равны между собой. У любого одноэлементного множества также нет собственных подмножеств, но его несобственные подмножества различны. У любого двухэлементного множества есть уже два собственных подмножества. С ростом количества элементов во множестве количество собственных подмножеств растет. Например, если F={3,5}, то собственными подмножествами множества F будут являться множества {3} и {5}.
Определение 7: Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается через R(A).
Пусть А={5,3,9}. Тогда множество-степень состоит из:
1) А={5,3,9} – исходного множества.
2) пустого множества Æ.
3) трёх одноэлементных подмножеств: {5}; {3}; {9}.
4) трех двухэлементных подмножеств множества А: {{5,3}{3,9}{5,9}}.
Таким образом, множество-степень:
R(A) = {А,{5},{3},{9},{5,3},{3,9},{5,9},{Æ}}; состоит из 23=8 элементов.
Для n-элементного множества множество-степень состоит из 2n элементов.
Автомеханический институт... Кафедра Компьютерные технологии и обработка материалов давлением... Егорова Э В...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Отношения между множествами
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
по всему курсу
Тольятти 2008
УДК 51: 004 (075.8)
ББК 22.18+32.81
Е
Егорова, Э.В.
Понятие аксиоматического метода
Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства как верное.
Аксиоматический метод – способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющ
Аксиоматическое построение математической теории
При аксиоматическом способе построения какой-либо математической теории соблюдаются следующие правила:
Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и прин
Понятие множества
Главные математические понятия: точка, прямая, множество, функция, вектор, уравнение, отношение и т.д. образуют основания математики. В каждом разделе математики используется какое-то понятие из ос
Алгебраические свойства операций над множествами
После изучения операций над множествами следует рассмотреть свойства этих операций и связи между ними. Эти свойства во многом аналогичны свойствам обычных операций сложения и умножения чисел. Свойс
Декартово произведение множеств. Бинарные отношения
Отношения между двумя и более множествами рассматриваются в разделе 2.3.1. Данная операция позволяет их сравнивать и делать вывод о равенстве или включении одного множества в другое. Известно, если
Символический язык логической структуры математических предложений
Математика описывает исследуемые процессы, используя кроме словесного языка символический. Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой, причем они взаимосвязан
Перестановки
Задачи, связанные с перестановками, относятся к задачам комбинаторики. Например, перестановка книг на полках. В таких задачах подсчитывается количество возможных вариантов перестановок, причем в ка
Размещения
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи имеет значения, то имеют дело с «задачей о рассаживании»: группу из n человек следует рассадить в аудитории за ка
Сочетания
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся одинаковыми.
Алгебра случайных событий
Между случайными событиями и множествами существует связь. Совокупность элементарных событий можно назвать множеством (пространством) элементарных исходов, которое обозачается: W. Соответственно, п
Сложение вероятностей несовместных событий
Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В или обоих этих событий.
Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных со
Умножение вероятностей независимых событий
Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.
Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность сов
Сложение вероятностей совместных событий
Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны
Формула Байеса
Пусть произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Вероятность события А можно вычислить по формуле (4.13). Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероя
Понятие случайной величины
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайнойназывают величину, которая в результате испытания примет одно возможное
Закон распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим дискретную случайную величину на примере.
Пример 1.
Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной величиной Х. Возможные значения
Предмет и задачи математической статистики
Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, при этом сама математическая модель считается заданной. В задачах теории вероятностей исходят из того, что задано вероятностное
Полигон и гистограмма
Генеральной совокупностью называют полный набор всех возможных N значений дискретной случайной величины Х. Практически сложно получить полную информацию о случайной величине. Поэтому случайным обра
Эмпирическая функция распределения
Понятие функции распределения было дано в разделе теории вероятности для случайной величины. Для выборки вводится понятие эмпирической функции распределения. Эмпирическая функция распределения (фун
Статистические оценки параметров распределения
Пусть дискретная случайная величина Х задана генеральной совокупностью. Требуется оценить количественные характеристики заданной совокупности: математическое ожидание, дисперсию и установить функци
Генеральная средняя и выборочная средняя
Пусть задана дискретная случайная величина Х в виде генеральной совокупности. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности:
Некоторые статистические распределения
При обработке статистических данных результаты сравнивают со статистикой, результаты которой известны. С помощью такой статистики можно получить информацию о случайной величине из выборки. В резуль
Распределение Стьюдента
Пусть случайная величина x распределена по стандартному нормальному закону N(0,1). Случайную величину x делят на корень из c2/k.
Закон Стьюдента – это отношение
Интервальные оценки
В разделе 6.3 на примерах было показано определение выборочных числовых характеристик случайной величины: выборочной средней –`x, выборочной дисперсии – Dв, выборочного среднего квадрати
Понятие и свойства алгоритма
Алгоритм это последовательность арифметических, логических и прочих операций, необходимых для выполнения на ЭВМ. Применительно к ЭВМ алгоритм определяет вычислительный процесс, начинающейся с обраб
Ветвления
Разветвляющиеся алгоритмы редполагают проверку условий для выбора решения. Соответственно в алгоритме появится столько разветвлений, сколько условий. Во второй задаче рассматривается один из пример
Циклы. Повтор с заданным количеством циклов
Пример 3.
Дано количество циклов n. Требуется найти произведение значений счётчика цикла.
В этом примере известно количество циклов. Поэтому произведение будет равно р=1&ti
Данные и типы данных
Данные могут быть разделены на:
1) Константы – const.
2) Переменные – var.
Константам и переменным даётся имя, которое называется идентификатором. С другой стороны в зави
Стандартные функции
Стандартные функции подразделяются на числовые, символьные и т.д. Числовые стандартные функции представлены в таблице 9.1.
Таблица 9.1
Матем. запись
Структура программы на языке Паскаль
Структура программы на языке Паскаль имеет следующий вид:
PROGRAM Pr; {Заголовок не обязателен}
{Раздел описаний}
Begin {Начало раздела операторов}
{Раздел опера
E) Структурированный (разветвленный) IF
1) Структурированный, короткий, простой IF.
В структурированном операторе содержится последовательная проверка вложенных условий.
Пример 7.
Вычислить r=ln(x+y+z),
Понятие и описание массива
Массивом называются упорядоченная последовательность однотипных объектов, обозначаемая одним именем. Чтобы выделить один из объектов (элемент) массива, надо указать имя массива и номер элемента в н
Ввод и вывод элементов массивов
Ввод и вывод массивов осуществляется поэлементно. Часто это делают с помощью циклов (обычно используется цикл FOR).
Пример 21.
Ввести с клавиатуры значения элементов одноме
Новости и инфо для студентов