Символический язык логической структуры математических предложений
Символический язык логической структуры математических предложений - раздел Информатика, МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по всему курсу Математика Описывает Исследуемые Процессы, Используя Кроме Словесного Языка С...
Математика описывает исследуемые процессы, используя кроме словесного языка символический. Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой, причем они взаимосвязаны.
При записи математических предложений используются обозначения логики:
Логические символы:
a) Þ логический вывод (дедукция), который означает: «влечет за собой».
b) Û логическая равносильность, которая означает: «эквивалентно».
Кванторы:
a) $ квантор существования.
«$x» означает: «существует по меньшей мере один х такой, что …».
Запись: «$x:А(х)»; означает: «существует такое значение х, что А(х) – истинное высказывание».
b) "– квантор общности, который означает «любой» или «для всех».
Основным объектом математической логики является высказывание.
Определение 13: Высказыванием в математике называют предложение, относительного которого имеет смысл вопрос истинности или ложности его.
В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого слова: «и, или, если…, то», которые называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Выделяют пять основных логических связок, которые позволяют получить новые высказывания:
1. Отрицание – это высказывание, которое получается из данного высказывания А с помощью слова «не». Отрицание обозначается`А.
2. Конъюнкция высказываний А и В – это высказывание АÙB, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и высказывание АÙB ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Конъюнкция получается из двух данных высказываний А и В с помощью союза «и».
Пример 14. Пусть высказывание А: «студент сдал экзамен по истории», высказывание В: «сдал экзамен по иностранному языку».
Конъюнкция высказываний А и В (АÙB): «студент сдал экзамен по истории и сдал экзамен по иностранному языку».
3. Дизъюнкция высказываний А или В – это высказывание АÚB, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и высказывание АÚB ложно, когда оба высказывания ложны. Дизъюнкция получается из двух данных высказываний А, В с помощью союза «или».
Пример 15. Пусть высказывание А: «студент сдаёт экзамены на хорошо», высказывание В: «сдаёт экзамены на отлично».
Дизъюнкция высказываний А или В (АÚB): «студент сдаёт экзамены на хорошо или сдаёт экзамены на отлично».
4. Импликацияобразуется из двух данных высказываний А и В с помощью слов «если…, то…».
Импликация обозначается AÞB (если А, то В).
Пример 16. Если студент сдаёт сессию без троек и двоек, то он получает стипендию. Здесь высказывания: А – «студент сдаёт сессию без троек и двоек», В – «он получает стипендию».
5. Эквиваленцияобразуется из двух данных высказываний А и В с помощью слов «тогда и только тогда, когда…».
Эквиваленция обозначается: AÛB.
Пример 17. «Студент получает стипендию тогда и только тогда, когда он сдаёт экзамены на хорошо или отлично». Здесь высказывания: А – «студент получает стипендию», В – «он сдаёт экзамены на хорошо или отлично».
Для примера рассмотрим несколько высказываний с применением кванторов.
Пример 18. Если В есть подмножество Х и элемент х принадлежит В, то это можно записать в виде: "x:xÎBÞxÎX. Эту строку можно прочитать так: для любого х, если х принадлежит подмножеству В, то это влечет за собой (следует) утверждение, что х принадлежит множеству Х.
Пример19. Запись: "a:[aÎAÇB]Û[aÎAÇaÎB] можно прочитать: для любого элемента а, если а принадлежит пересечению множеств А и В, то это равносильно, что а принадлежит множеству А и множеству В.
Пример 20. Запись: $x:xÎAÇB означает: существует по меньшей мере один х такой, что элемент x принадлежит пересечению множеств А и В.
Пример 21. Запись «"z:[zÎZ]Þ$xÎX:x=cos(z)», можно прочитать: для любого элемента z, если z принадлежит множеству Z, то из этого следует, что существует по меньшей мере один х, принадлежащий множеству Х такой, что элемент x равен cos(z).
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
по всему курсу
Тольятти 2008
УДК 51: 004 (075.8)
ББК 22.18+32.81
Е
Егорова, Э.В.
Понятие аксиоматического метода
Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства как верное.
Аксиоматический метод – способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющ
Аксиоматическое построение математической теории
При аксиоматическом способе построения какой-либо математической теории соблюдаются следующие правила:
Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и прин
Понятие множества
Главные математические понятия: точка, прямая, множество, функция, вектор, уравнение, отношение и т.д. образуют основания математики. В каждом разделе математики используется какое-то понятие из ос
Отношения между множествами
В математике часто используется для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями термин «отношение». Примеры отношений: отношение равенства между двумя или несколькими переменными, ф
Алгебраические свойства операций над множествами
После изучения операций над множествами следует рассмотреть свойства этих операций и связи между ними. Эти свойства во многом аналогичны свойствам обычных операций сложения и умножения чисел. Свойс
Декартово произведение множеств. Бинарные отношения
Отношения между двумя и более множествами рассматриваются в разделе 2.3.1. Данная операция позволяет их сравнивать и делать вывод о равенстве или включении одного множества в другое. Известно, если
Перестановки
Задачи, связанные с перестановками, относятся к задачам комбинаторики. Например, перестановка книг на полках. В таких задачах подсчитывается количество возможных вариантов перестановок, причем в ка
Размещения
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи имеет значения, то имеют дело с «задачей о рассаживании»: группу из n человек следует рассадить в аудитории за ка
Сочетания
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся одинаковыми.
Алгебра случайных событий
Между случайными событиями и множествами существует связь. Совокупность элементарных событий можно назвать множеством (пространством) элементарных исходов, которое обозачается: W. Соответственно, п
Сложение вероятностей несовместных событий
Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В или обоих этих событий.
Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных со
Умножение вероятностей независимых событий
Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.
Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность сов
Сложение вероятностей совместных событий
Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны
Формула Байеса
Пусть произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Вероятность события А можно вычислить по формуле (4.13). Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероя
Понятие случайной величины
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайнойназывают величину, которая в результате испытания примет одно возможное
Закон распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим дискретную случайную величину на примере.
Пример 1.
Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной величиной Х. Возможные значения
Предмет и задачи математической статистики
Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, при этом сама математическая модель считается заданной. В задачах теории вероятностей исходят из того, что задано вероятностное
Полигон и гистограмма
Генеральной совокупностью называют полный набор всех возможных N значений дискретной случайной величины Х. Практически сложно получить полную информацию о случайной величине. Поэтому случайным обра
Эмпирическая функция распределения
Понятие функции распределения было дано в разделе теории вероятности для случайной величины. Для выборки вводится понятие эмпирической функции распределения. Эмпирическая функция распределения (фун
Статистические оценки параметров распределения
Пусть дискретная случайная величина Х задана генеральной совокупностью. Требуется оценить количественные характеристики заданной совокупности: математическое ожидание, дисперсию и установить функци
Генеральная средняя и выборочная средняя
Пусть задана дискретная случайная величина Х в виде генеральной совокупности. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности:
Некоторые статистические распределения
При обработке статистических данных результаты сравнивают со статистикой, результаты которой известны. С помощью такой статистики можно получить информацию о случайной величине из выборки. В резуль
Распределение Стьюдента
Пусть случайная величина x распределена по стандартному нормальному закону N(0,1). Случайную величину x делят на корень из c2/k.
Закон Стьюдента – это отношение
Интервальные оценки
В разделе 6.3 на примерах было показано определение выборочных числовых характеристик случайной величины: выборочной средней –`x, выборочной дисперсии – Dв, выборочного среднего квадрати
Понятие и свойства алгоритма
Алгоритм это последовательность арифметических, логических и прочих операций, необходимых для выполнения на ЭВМ. Применительно к ЭВМ алгоритм определяет вычислительный процесс, начинающейся с обраб
Ветвления
Разветвляющиеся алгоритмы редполагают проверку условий для выбора решения. Соответственно в алгоритме появится столько разветвлений, сколько условий. Во второй задаче рассматривается один из пример
Циклы. Повтор с заданным количеством циклов
Пример 3.
Дано количество циклов n. Требуется найти произведение значений счётчика цикла.
В этом примере известно количество циклов. Поэтому произведение будет равно р=1&ti
Данные и типы данных
Данные могут быть разделены на:
1) Константы – const.
2) Переменные – var.
Константам и переменным даётся имя, которое называется идентификатором. С другой стороны в зави
Стандартные функции
Стандартные функции подразделяются на числовые, символьные и т.д. Числовые стандартные функции представлены в таблице 9.1.
Таблица 9.1
Матем. запись
Структура программы на языке Паскаль
Структура программы на языке Паскаль имеет следующий вид:
PROGRAM Pr; {Заголовок не обязателен}
{Раздел описаний}
Begin {Начало раздела операторов}
{Раздел опера
E) Структурированный (разветвленный) IF
1) Структурированный, короткий, простой IF.
В структурированном операторе содержится последовательная проверка вложенных условий.
Пример 7.
Вычислить r=ln(x+y+z),
Понятие и описание массива
Массивом называются упорядоченная последовательность однотипных объектов, обозначаемая одним именем. Чтобы выделить один из объектов (элемент) массива, надо указать имя массива и номер элемента в н
Ввод и вывод элементов массивов
Ввод и вывод массивов осуществляется поэлементно. Часто это делают с помощью циклов (обычно используется цикл FOR).
Пример 21.
Ввести с клавиатуры значения элементов одноме
Новости и инфо для студентов