A Max(N)=2N–1 - раздел Информатика, Основы информатики § Целые Числа Со Знаком — Добавление Отрицательных Зн...
§ Целые числа со знаком — Добавление отрицательных значений приводит к появлению некоторых новых свойств. Ровно половина из всех 2N чисел теперь будут отрицательными; учитывая необходимость нулевого значения, положительных будет на единицу меньше, т.е. допустимый диапазон значений оказывается принципиально несимметричным.
Для того, чтобы различать положительные и отрицательные числа, в двоичном представлении чисел выделяется знаковый разряд. По традиции для кодирования знака используется самый старший бит, причем нулевое значение в нем соответствует положительному знаку "+", а единичное — отрицательному "–".
Примечание.
С точки зрения описываемой системы кодирования число нуль является положительным, т.к. все его разряды, включаяизнаковый, нулевые.
Представление положительных чисел, при переходе от беззнаковых чисел к целым со знаком, сохраняется, за исключением того, что теперь для самого числа остается на один разряд меньше. А вот о представлении отрицательных чисел поговорим подробнее.
Первое, что напрашивается, это кодировать отрицательные значения точно так же, как и положительные, только добавлять в старший бит единицу. Подобный способ кодирования называется прямым кодом.
Примечание.
Несмотря на свою простоту и наглядность, для представления целых чисел он не получил широкого применения в ЭВМ. Главной причиной является то, что, хотя сам код прост, действия над представленными в нем числами выполняются достаточно сложно. Поэтому для практической реализации кодирования отрицательных чисел используется другой метод, который и будет описан ниже.
Суть метода в следующем. Все отрицательные числа записываются в ЭВМ в виде:
2N – |m|
где N — количество двоичных разрядов, а m — конкретное значение отрицательного числа.
Поскольку фактически вместо числа теперь записывается его дополнение до некоторой характерной величины 2N, то такой код назвали дополнительным. Для получения такого представления отрицательных чисел обычно используется следующий алгоритм преобразования:
§ Модуль |m|отрицательногоm числа переводится в двоичную форму;
§ Производится поразрядное инвертирование получившегося кода, т.е. осуществляется замена единиц нулями, а нулей – единицами (кстати, такой код называется обратным);
§ К полученному обратному коду обычным образом прибавляем единицу.
Пример: пусть 00001000 есть исходное число
— обратный код числа
— добавляемая единица
—дополнительного код числа
Примечание.
Хотя дополнительный код гораздо менее наглядный, чем прямой, он позволяет значительно проще реализовать арифметические операции. Более того, наличие дополнительного кода позволяет упразднить действие вычитания, сводя его к сложению с дополнительным кодом вычитаемого. Этот метод вычитания будет писан ниже (см. пп. 3.4.6).
Завершить изложение данной части вопроса хочется цитатой из книги известного российского специалиста по разработке ЭВМ Н.П.Бруснецова [7]):
Цитата. К понятию дополнительного кода, … весьма неудобному для человеческого восприятия, можно подойти естественным путем, выполняя … вычитание из меньшего числа большего. Этот подход не избавляет от неудобств, но может служить определенным утешением, так как показывает, что неудобства не придуманы людьми, а являются неотъемлемым свойством двоичного представления чисел.
§ Вещественные числа — В отличие от целых чисел, которые дискретны, и отсюда каждому целому числу соответствует свой уникальный двоичный код (если разрядной сетки представления достаточно для кодирования максимального числа в данном массиве), вещественные числа, напротив, непрерывны, а значит, не могут быть полностью корректно перенесены в дискретную по своей природе вычислительную машину.
Примечание.
Последнее замечание означает, что некоторые вещественные числа, незначительно отличающиеся друг от друга, могут иметь одинаковый код. Кроме того, неизбежное отбрасывание младших двоичных разрядов при переходе в компьютере ко внутреннему двоичному представлению привело к появлению специфической "машинной" погрешности.
Известны два способа представления вещественных чисел: с фиксированной и с плавающей запятой [8]). Первый способ считается устаревшим и он в настоящее время не используется.
§ Вещественные числа с фиксированной запятой — В старых машинах, использовавших фиксированное размещение запятой, положение последней в разрядной сетке ЭВМ было заранее обусловлено — раз и навсегда для всех чисел и для всех технических устройств. Поэтому отпадала необходимость в каком-либо способе ее указания во внутреннем представлении чисел. Все вычислительные алгоритмы были заранее "настроены" на это фиксированное размещение.
Но в практических задачах встречаются самые разнообразные по величине числа. Как же их втиснуть в "прокрустово ложе" с фиксированной запятой? Для этого программист, подготавливая задачу к решению на ЭВМ, проделывал большую предварительную работу по анализу величины данных и их масштабированию: маленькие числа умножались на определенные коэффициенты, а большие, напротив, делились. Масштабы подбирались так, чтобы результаты всех операций, включая промежуточные, не выходили за пределы разрядной сетки и, в то же время, обеспечивали максимально возможную точность (об этом чуть позднее). Тщательная подготовительная работа требовала много времени и часто являлась источником ошибок. Отсюда очевидно, что каждая задача помимо собственно программирования требовала большой специализированной подготовки данных к обработке на данной конкретной ЭВМ. Поскольку чаще всего запятая фиксировалась перед самым старшим из разрядов, что было очень удобно для умножения, то масштабы для чисел обычно выбирались так, чтобы сделать их как можно ближе к единице. С другой стороны, то, что хорошо при умножении, угрожало выйти за пределы разрядной сетки, скажем, при сложении.
Итак, при использовании представления с фиксированной запятой наиболее сложным и трудоемким местом является масштабирование данных, занимающим зачастую до 70-80% времени подготовки задачи к решению на ЭВМ.
Это натолкнуло разработчиков ЭВМ на мысль, а научить ли машину самостоятельно размещать запятую так, чтобы числа при счете по возможности не выходили за разрядную сетку и сохранялись с максимальной точностью. Для этого, разумеется, пришлось разрешить ЭВМ "перемещать" запятую, а значит, дополнительно как-то сохранять в двоичном представлении числа ее текущее положение. В этом, собственно, и заключается представление чисел с плавающей запятой.
§ Вещественные числа с плавающей запятой — Следует отметить, что такое удобное представление вещественных чисел не пришлось специально придумывать. В математике уже существовал подходящий способ записи, основанный на том факте, что любое число A в системе счисления с основанием Q можно записать в виде
A=(±M) · Q ±P ,
где M — мантисса, а показатель степени P — порядок числа.
Примечание.
Для десятичной системы это выглядит очень привычно, например: заряд электрона равен -1,6·10-19 к, а скорость света в вакууме составляет 3*108 м/сек. Некоторое неудобство при этом вносит тот факт, что представление числа с плавающей запятой не является единственным, например, 3·108 =30·107=0,3·109=0,03·1010 = ...
По этим причинам договорились до следующего правила записи вещественных чисел с плавающей запятой:
Правило. Для записи вещественных чисел в форме с плавающей запятой считать, что мантисса всегда меньше единицы, а ее первый разряд содержит отличную от нуля цифру.
Пример: Тогда из всех записей 3·108 =30·107=0,3·109=0,03·1010 = ... для числа 300 000 000справедлива только одна форма — 0,3·109.
Описанное представление чисел с плавающей запятой называется нормализованным и является единственным, причем, любое число может быть легко нормализовано.
Примечание.
Следует добавить, что требования к нормализации чисел вводятся исходя из соображений обеспечения максимальной точности их представления.
Все сказанное о нормализации можно легко применить и к двоичной системе:
Псковский... государственный политехнический институт...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
A Max(N)=2N–1
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Издательство СПбГПУ
УДК 681.3 (075)
Рекомендовано к изданию
Научно-методическим советом
Псковского государственного политехнического института
Рецензенты:
- Ил
Часть. 1. Основы информатики
1. Информация и информационные процессы
Основные понятия:
информация, информационные процессы, информационное общество, и
Часть 2. Информационные технологии
7. Технологии обработки текстовой информации
Основные понятия:
текстовый редактор и процессор, Формат текстового файла, Т
Свойства информации.
К информации предъявляется ряд требований, т.е. любая информация должна обладать определенными свойствами:
§ Полнотаиликачество информации,
Методы обработки данных.
Для того, чтобы на основе полученных данных, то есть зарегистрированной информации, принять какое-нибудь решение, необходимо произвести с да
Структуры данных.
Работа с большими наборами данных автоматизируется проще, когда данные упорядочены, то есть образуют заданную структуру. Различают три основных вида структур: линейн
Информационные процессы.
Определение. Информационный процесс – это процесс восприятия, накопления, хранения, обработки и передачи информации.
§ Процессы восприятия, храненияи
Информационные основы процессов управления.
Чтобы говорить об процессах управления необходимо понять, что из себя представляет система управления.
Определение. Система – это упорядоченная совокупность разнородных эл
Аналоговая (непрерывная) и дискретная формы представления.
Информация — очень емкое понятие, в которое вмещается весь мир: все разнообразие вещей и явлений, вся история, все тома научных исследований, творения поэтов и прозаиков. И все это
Десятичная и двоичная формы представления.
Как уже отмечалось, дискретность— это случай, когда объект или явление имеет конечное (счетное) число разнообразий. Чтобы выделить конкрет
Экспоненциальная формы представления информации.
Для представления очень маленьких или очень больших чисел их стандартное позиционное представление становится нечитаемым и трудно употребимым для проведения вычислительных действий над такими числа
Системы счисления.
Определение. Системой счисления называется совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.
Существует два вида систем счисления:
§
Системы счисления, используемые в компьютере.
Позиционный принцип используется и при записи двоичных чисел. В этом случае коэффициентами при степенях числа 2 будут двоичные цифры 0 и 1. Число 5279 в двоичной системе счисления
Двоичное сложение.
Сложение двоичных чисел подобно сложению десятичных. В обоих случаях операции начинаются с обработки наименьших значащих цифр, расположенных в крайней справа позиции. Если результат сложения наимен
Двоичное вычитание.
Двоичное вычитание подобно десятичному вычитанию. Как и в случае сложения, различие выполнения вычитания в двоичной и десятичной форме состоит лишь в особенностях поразрядных операций.
Выч
Двоичное умножение.
Двоичное и десятичное умножение, так же, как двоичное и десятичное сложение или вычитание, во многом похожи. Умножение – это быстрый способ сложения нескольких одинаковых чисел. Умножение выполняет
Двоичное деление.
Деление — это операция, обратная умножению. Иначе говоря, при делении операцию вычитания повторяют до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше вычитаемого. Число этих повторений показывает, сколь
Двоичное вычитание с использованием дополнительных кодов.
При реализации двоичной арифметики в современных процессорных элементах ЭВМ необходимо учитывать, что возможности аппаратной «двоичной электроники» не позволяют непосредственно осуществлять операци
Логические выражения.
С помощью основного набора булевых операций можно построить более сложные логические высказывания.
Пример: Построим логическое выражение из простых логических опера
Логический элемент ИЛИ-НЕ.
Логический элемент ИЛИ-НЕреализует сложную двухступенчатую логическую операциюдля двух сигналов и обозначается на схеме сл
Построение сумматоров на логических элементах.
Наличие логических элементов, реализующих логические операции, позволяет реализовать простейшие операции двоичной арифметики, а именно операции сложения и вычитания (через сложение с использованием
Архитектура компьютера.
Определение. Компьютер [13]) (от англ. computer— вычислитель) — это программируемое электронное устройство, способное обрабатывать данн
Системный блок.
Основным аппаратным компонентом компьютера является системная или материнская (MotherBoard) плата. На системной плате реализована магистраль обм
Микропроцессоры ПК.
Определение. Центральный процессор (CPU, от англ. Central Processing Unit) — это основной рабочий компонент компьютера, который выполняет арифметические и логическ
Оперативная память
Определение. Оперативная память (ОЗУ—оперативное запоминающее устройство, от англ. RAM—Random Access Memory—память с прои
Магнитные накопители.
Умагнитныхнакопителей принцип записи информации основан на явлении намагничивания ферромагнетиков магнитным полем, хранение информации связано с длительным сохранением этой намагн
Оптические накопители.
Оптическийпринцип записи и считывания информации основан на изменении угла отражения лазерного луча от поверхности оптическогодиска (поэтому оптич
Клавиатура.
Определение. Клавиатура— это устройство для ввода информации в компьютер и подачи управляющих сигналов. Содержит стандартный набор клавиш печатной машинки и некоторые дополнительны
Манипуляторы.
Для ввода графической информации и для работы с графическим интерфейсом программ используются координатные устройства ввода информации: манипуляторы (мышь, трекбол и др.), джойстики, сен
Аудиоадаптер.
Определение. Аудиоадаптер (Sound Blasterилизвуковая плата) это специальная электронная плата, которая позволяет записывать звук, воспроизводить его и создавать про
Монитор.
Определение. Монитор — это универсальное устройство вывода информации, подключаемое к видеокарте (видеоадаптеру). Видеокарта непосредственно упра
Принтер.
Принтер предназначен для вывода на бумагу (создание «твердой копии») числовой, текстовой и графической информации. По пр
Прикладное ПО.
Прикладное программное обеспечение предназначено для разработки и выполнения конкретных задач (приложений) пользователя. Прикладное ПО работает под управлением
Файловая система и файловая структура.
Все программы и данные хранятся на устройствах внешней памяти компьютера в виде файлов.
Определение. Файл (file – папка) — это им
Правовая охрана программ и данных.
4.9.1.Лицензионные, условно бесплатные и бесплатные программы,
Программы по их юридическому статусу можно разделить на три большие группы: лицензионные, у
Моделирование как метод познания.
В своей деятельности, художественной, научной, практической человек часто создает некий заменитель той системы, процесса или явления, с которым ему приходиться иметь дело. Целью подобной замены явл
Понятие о технологии информационного моделирования.
Бурное развитие компьютерных технологий, расширение возможностей средств вычислительной техники, появление быстродействующих вычислительных систем, новых языков программирования с расширенными вычи
Алгоритм. Формальное исполнение алгоритмов.
Любая задача характеризуется известными величинами (исходными данными) и отношениями между ними, и величинами или отношениями, значения которых неизвестны и должны быть определены
Свойства алгоритмов.
Все алгоритмы обладают рядом свойств. Приведем основные свойства алгоритмов [21]):
§ Массовость алгоритмаопределяет возможност
Способы записи алгоритма.
Существуют три основных способа записи или представления алгоритма:Словесное описание, Описание на алгоритмическом языке, Структурная схема (графическая схема) [22])
Алгоритм 2.
алг
нач
если корень слова начинается со звонкой согласной
I то на конце приставки написать «з»
I иначе на конце приставки напи
Методы разработки алгоритмов.
Существуют два основных метода разработки алгоритмов — метод последовательной детализациии сборочный метод,
§ Метод последовательной детализаци
Средства создания программ.
Исходная программа является обычным текстом, поэтому для ее записи используются текстовые редакторы.
Чтобы получить работающую программу, надо этот текст либо автоматическ
Базовые элементы алгоритмических языков программирования.
Любой язык программирования характеризуется определенным набором конструктивных элементов. К таким базовым элементам, в частности, относятся: Алфавит и служебные слова, Структура программы,
Основные типы данных.
Данные могут быть простымиисложными. Типы данных подразделяются на простыеиструктурированныеилиструктуры
Подпрограммы.
Если группа одних и тех же действий повторяется в разных местах программы, то целесообразно их выделить в подпрограмму.
Определение. Подпрограмма— это часть программы, офо
Технологии программирования.
Определение. Технология программирования — это система методов, способов и приемов разработки и отладки программы.
В настоящее время нашли широкое применение следующие тех
Пособие для поступающих в вуз.
Под общей редакцией к.т.н., доцента В.С. Белова
Технический редактор В.С. Белов
Компьютерная верстка: авторский коллектив
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов