ФОРМУЛА РАЗЛОЖЕНИЯ ЧИСЛА ПО СТЕПЕНЯМ ОСНОВАНИЯ

 

Пусть в десятичной системе задано некоторое число А(10)=3745. Каждая позиция, занимаемая цифрами, называется разрядом числа. Разряды имеют названия и номера: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Названия разрядов определяют их вес: единицы, десятки, сотни, тысячи. Поэтому количественный эквивалент цифры в записи числа равен произведению значения цифры на вес разряда, где она записана.

Заданное число, не изменяя его количества, можно записать следующими способами:

А(10)=3745;

А(10)=3000+700+40+5;

А(10)=31000+7100+410+5;

А(10)=310³+710²+410¹+510⁰.

Последнюю запись называют разложением числа по степеням основания. Формула разложения показывает, что число в позиционной системе можно представить в виде суммы количественных эквивалентов цифр, которые в свою очередь равны произведению цифры на степень основания, т.е. на вес разряда.

Запишем целое четырехразрядное десятичное число и формулу его разложения в общем виде:

A₍₁₀₎=a₃a₂a₁a₀= a₃10³+ a₂10²+ a₁10¹+ a₀10⁰.

Заметим, что номера разрядов числа совпадают с показателями степени основания. Смешанная десятичная дробь, имеющая по четыре разряда в целой и дробной части, и формула его разложения запишется так (опустим знаки умножения):

A₍₁₀₎=a₃a₂a₁a₀,a_-1a_-2a_-3a_-4= a₃10³+a₂10²+a₁10¹+a₀10⁰+a_-110^-1 +

+a_-210^-2+a_-310^-3+a_-4 10^-4.

В принятых обозначениях формула количественного эквивалента цифры i-гo разряда в записи десятичного числа такая: В_i=а_i10ⁱ.

Формула разложения смешанной дроби, имеющей n+1 разрядов в целой части и m разрядов в дробной, в позиционной системе с основанием р запишется так:

A_(p)=a_na_n-1…a₃a₂a₁a₀,a_-1a_-2a_-3a_-4…a_-m+1a_-m= a_npⁿ₊ a_n-1p^n-1+…+ a₂p²+

+ a₁p¹+ a₀p⁰+a_-1p^-1+a_-2p^-2+…+a_-m+1p^-m+1+a_-mp^-m.