Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тремя цифрами) или тетрадой (четырьмя цифрами). Например,
• 537,18=101 011 111, 0012
• 1A3,F16= 0001 1010 0011, 11112
Для перевода целого числа N с основанием q1 в систему счисления с другим основанием q2 необходимо число N делить на значение q2, записанное в исходной системе счисления и по правилам исходной системы счисления, до тех пор, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных в символах новой системы и записанных в порядке, обратном порядку их получения.
Для примера рассмотрим перевод из десятичной системы в двоичную (q=2), восьмеричную (q=8) и шестнадцатеричную (q=16) системы счисления. Воспользуемся изложенным правилом. Тогда для перевода целого десятичного числа N (q=10) в систему счисления с другим основанием q необходимо число N делить на значение q, записанное в десятичной системе, до тех пор, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.
На рис. 1.1. приводятся три примера перевода чисел из десятичной системы в двоичную ( q=2), в восьмеричную (q =8) и шестнадцатеричную (q =16): 7510=10010112 .
Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления
с основанием q необходимо F умножить на q , записанное в десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе (рис. 1.2.). Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2.
7510 =1138 ; 7510 =4B16 
Рис. 1.1. Примеры перевода целого числа из десятичной с.с.
Рис. 1.2. Перевод дроби из десятичной с.с.в другие с.с.
Перевод из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной (или любой другой q-ичной) системы счисления в десятичную.
Перевод в десятичную систему числа Х, записанного в q-ичной системе счисления (q = 2, 8,16…) в виде
X q = A n A n-1 ... А 0 , А -1 А -2 ... А –m ,
где A n ,… А 0 , А -1 ,... А –m –символы q-ичной системы
сводится к вычислению значения многочлена по правилам десятичной арифметики:
X10 = Аn * q^n + Аn-1 * q^(n-1) + ... +А о * q^0 + А-1 * q^( -1) + A-2 * q^(-2) + ... +А -m * q^(-m)
1.5. Измерение количества информации – два подхода
Вопрос как измерить информацию? Ответ на него зависит от того, что понимать под информацией. Поскольку определить информацию можно по-разному, то и способы измерения тоже будут разными.
Под информацией в быту (житейский аспект) понимают сведения об окружающем мире и протекающих в нем процессах, воспринимаемые человеком или специальными устройствами.
Под информацией в технике понимают сообщения, передаваемые в форме знаков или сигналов.
Под информацией в теории информации понимают не любые сведения, а лишь те, которые снимают полностью или уменьшают существующую до их получения неопределенность. По определению К. Шеннона, информация – это снятая неопределенность.Как же оценить количество информации? Рассмотрим два способа оценки количества информации: вероятностный и алфавитный.
Вероятностный подходрассматривает количество информации как меру уменьшения неопределенности знаний. Информацию, которую получает человек, можно считать мерой уменьшения неопределенности знаний. Если некоторое сообщение приводит к уменьшению неопределенности наших знаний, то можно говорить, что такое сообщение содержит информацию о каких-либо событиях. Количество информации для событий с различными вероятностями определяется по формуле, которую предложил К.Шеннон в 1948 году:
(1.1)
где I– количество информации, N – количество возможных событий, pi - вероятности отдельных событий.
Если события равновероятны p i =1/ N, то количество информации определяется по формуле:
(1.2)
Единицы измерения количества информации. За единицу количества информации принят 1 бит – количество информации, содержащееся в сообщении, уменьшающем неопределенность знаний в два раза.
Принята следующая система единиц измерения количества информации:
1 байт=8 бит
1 Кбайт=210 байт
1 Мбайт=210 Кбайт=220 байт
1 Гбайт=210 Мбайт=220 Кбайт=230 байт
Пример. После экзамена по информатике, который сдавали два студента, объявляются оценки («2», «3», «4» или «5»). Какое количество информации будет нести сообщение об оценке студента A, который выучил лишь половину билетов, и сообщение об оценке студента B, который выучил все билеты.
Решение. Полагаем, что для студента A все четыре оценки (события) равновероятны. Тогда количество информации, которое несет сообщение об оценке, можно вычислить по формуле (1.2):I=log24=2 бит. Для студента B можно предположить, что наиболее вероятной оценкой является «5» (p1 = 1/2), вероятность оценки «4» в два раза меньше (p2 = 1/4), а вероятности оценок «2» и «3» еще в два раза меньше (p3 = p4 = 1/8). Так как события не равновероятны, воспользуемся для подсчета количества информации в сообщении формулой (1.1):
I = – (1/2*log21/2 + ¼*log21/4 + 1/8*log21/8 + 1/8*log21/8) бит = 1,75 бит
Вычисления показали, что при равновероятных событиях получаем большее количество информации, чем при не равновероятных событиях.
Алфавитный подход к измерению информации позволяет определить количество информации, заключенной в тексте. Алфавитный подход являетсяобъективным,т.е. он не зависит от субъекта, воспринимающего текст. Множество символов, используемых при записи текста, называется алфавитом. Полное количество символов в алфавите называетсямощностью (размером)алфавита. Если допустить, что все символы алфавита встречаются в тексте с одинаковой частотой (равновероятно), то количество информации, которое несет каждый символ текста, вычисляется по формуле:
i = log2N, (1.3)
гдеN – мощность алфавита.
Следовательно, в 2-х символьном алфавите каждый символ «весит» 1 бит (log22 = 1); в 4-х символьном алфавите каждый символ несет 2 бита информации (log24 = 2); в 8-ми символьном — 3 бита (log2 8= 3) и т.д. В компьютере для записи текстов, команд и пр. используется алфавит из 256 символов. Один символ из алфавита мощностью 256 (28) несет в тексте 8 бит информации. Такое количество информации называется байтом (1 байт = 8 бит).Например, если весь текст состоит из К символов, то при алфавитном подходе количество содержащейся в этом тексте информации (I) определяется по формуле :
I = К * i, (1.4)
где i — информационный вес одного символа в используемом алфавите.
Тогда информационный объем сообщения (информационная емкость сообщения) – это количество информации в сообщении, измеренное в битах, байтах или производных единицах (Кбайтах, Мбайтах и т. д.).
Пример. Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц; на каждой странице 40 строк, в каждой строке 60 символов. Определить, какой объем информации содержится в тексте этой книги?
Решение. Мощность компьютерного алфавита равна 256. Один символ несет 1 байт информации. Значит, страница содержит 40 * 60 = 2400 байт информации. Объем всей информации в книге (в разных единицах):2400 * 150 == 360 000 байт. 360000/1024 = 351,5625 Кбайт. 351,5625/1024 = 0,34332275 Мбайт.