Логические основы компьютеров

1. Что такое алгебра логики?

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания ( или логические выражения ).

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого алгебра логики названа булевой алгеброй.

Логическое высказывание (выражение) — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение “ 6 — четное число ” следует считать логическим высказыванием, так как оно истинно.

Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится логическим высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с точки зрения — является ли оно истинным или ложным.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, т.е. без связок, называются элементарными.

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена переменных. Пусть через А обозначено элементарное высказывание “Тимур поедет летом на море”, а через В — высказывание “Тимур летом отправится в горы”. Тогда составное высказывание “Тимур летом побывает и на море, и в горах” можно кратко записать как А и В. Здесь “и” — логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — “истина” или “ложь”. В компьютере значения “истина” и “ложь” обозначаются как “1” и “0” соответственно.

Каждая логическая связка рассматривается в булевой алгебре как логическая операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

1. Операция, выражаемая словом “не”, называется отрицанием и обычно обозначается знаком ùиличертой над высказыванием. Высказывание ­ ­ истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Например, “Луна — спутник Земли” (А); “Луна — не спутник Земли” ().

2. Операция, выражаемая связкой “и”, называется конъюнкцией или логическим умножением и обозначается словом “and” , точкой " • " или знаками Ù и &.

Правило: Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны, иначе оно ложно. Например, высказывание

“10 делится на 2 и 5 больше 3” истинно, а высказывания

“10 делится на 2 и 5 не больше 3”, ложны.

3. Операция, выражаемая связкой “или” называется дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается словом “OR” , знаком U , Ú (или плюсом "+ " ).

Правило: Высказывание А U В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны, иначе оно истинно. Например, высказывание

“10 не делится на 2 или 5 не больше 3”ложно,

а все высказывания: “10 делится на 2 или 5 больше 3”,
“10 делится на 2 или 5 не больше 3” или “10 не делится на 2 или 5 больше 3”

- все будут истинны.

4. Операция, выражаемая связками вида “если ..., то”, “из ... следует” или “... влечет ...”, называется импликацией и обозначается знаком à.

Правило: Высказывание А à В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно.

Каким образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: “данный четырёхугольник — квадрат” (А) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность” (В). Рассмотрим составное высказывание А à В, понимаемое как “если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность”.

Есть три варианта, когда высказывание А àВ истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка “если ..., то” описывает причинно - следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность.

5. Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно ...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ~ или º.

Правило: Высказывание А ~ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Порядок выполнения логических операций в логических выражениях задается приоритетом операций и круглыми скобками. В выражениях без скобок сначала выполняется операция отрицания (“ не ”), затем конъюнкция (“ и ”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация, затем эквиваленция.

2. Что такое логическая формула?

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы: 1. Всякая логическая переменная A, B … и символы “истина” (“1”) и “ложь” (“0”) есть элементарные формулы. 2. Если же А и В — формулы, то и , (А • В), (А Ú В), (А à B), (А ~ В) — есть тоже формулы. 3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

 

В качестве примера рассмотрим высказывание “если я куплю яблоки или абрикосы, то могу приготовить фруктовый пирог”. Это высказывание формализуется в виде формулы (A Ú B) à C. Как показывает анализ формулы

(A Ú B) à C , при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение “истина”, а при некоторых других сочетаниях — значение “ложь”. Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А Ú, соответствующая высказыванию “Этот треугольник прямоугольный или косоугольный”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А •, которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула всегда ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Если две формулы A и B при одинаковых наборах значений входящих в них переменных принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом “ = ” или символом “ Î ”. Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.

3.Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием?

Математический аппарат алгебры логики удобен для обработки данных в компьютере, где применяется двоичная система счисления, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Поэтому одни и те же устройства компьютера могут применяться как для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и значений логических переменных.

Данные и команды также представляются в виде двоичных последовательностей 0 и 1 различной структуры и длины.

На физическом уровне кодирования двоичной информации единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем ноль (или наоборот).

4. Что такое логический элемент компьютера?

Логический элемент компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы типа И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие (называемые также вентилями), а также устройство - триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт. Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий — значению “ложь” (“0”).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение в схеме, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (или операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.