Математическая постановка задачи

Для решения поставленной задачи можно использовать балансовую модель Леонтьева. Она представляет собой систему уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этой продукции. В рассматриваемой задаче экономическая система состоит из трех отраслей.

Пусть Х_i — величина, равная суммарному выпуску продукции отрасли i;

Х_ij - количество продукции отрасли i, необходимое для того, чтобы отрасль j произвела Х_j единиц своей продукции;

Y_j - количество продукции отрасли i, оставшейся для внешнего потребления (конечная продукция).

Тогда взаимосвязь отраслей в процессе производства и потребления отдельного продукта X_i (i= 1, 2, 3) может быть описана в виде следующих уравнений:

Х₁ = х₁₁+х₁₂+х₁₃+Y₁;

Х₂ = х₂₁+х₂₂+х₂₃+Y₂;

Х₃ = х₃₁+х₃₂+х₃₃+Y₃.

Используем понятие коэффициентов прямых затрат (технологических коэффициентов) а_ij:

- количество продукции отрасли i, необходимое для того, чтобы отрасль j произвела одну единицу своей продукции.

Тогда x_ij=a_ijX_j и система уравнений будет иметь следующий вид:

Х₁ = a₁₁X₁+a₁₂X₂+a₁₃X₃+Y₁;

Х₂ = a₂₁X₁+a₂₂X₂+a₂₃X₃+Y₂;

Х₃ = a₃₁X₁+a₃₂X₂+a₃₃X₃+Y₃.

Или в матричной форме

X=AX+Y,

где A = - матрица прямых затрат;

Х- вектор-столбец выпуска продукции в предыдущем периоде X = ;

Y - вектор-столбец конечного спроса в предыдущем периоде Y^c =

Решим уравнение X=AX+Y относительно X:

X-AX=Y,

отсюда,

Х(Е-А)=Y,

где Е - единичная матрица. Из уравнения получаем X=(Е-А)^-1Y