Решение задачи

Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

По условию задачи известны объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период (суммарный выпуск продукции отрасли i): X1=600, Х2=1000, Х3= 800 и значения xij (i,j = 1, 2, 3):

х11=250; х12=100; х13=160

х21=150; х22=500; х23=0;

х31=0; х32=300; х33=400.

Отсюда, используя, можно определить значения Yi, i=1,2,3 конечной продукции каждой из отраслей за предыдущий период.

Y1 =600-250-100-160=90;

Y2 =1000-150-500-0=350;

Y3 =800-0-300-400=100.

Таким образом, вектор конечной продукции за предыдущий период найден:

Yn =

Для определения вектора выпуска продукции X при заданном конечном прогнозируемом векторе спроса Y = надо решить систему уравнений, из которой следует, что

X=(Е-А)-1Y

где Е - единичная матрица

Е =

S=(E-A)-1 - называется матрицей полных затрат.

Определение коэффициентов прямых затрат

Учитывая, что технология производства не изменилась, определим коэффициенты прямых затрат aij.

a11=250/600=0,417; a12=100/1000=0,1; a13=160/800=0,2

a21=150/600=0,25; a22=500/1000=0,5; a23=0/800=0;

a31=0/600=0; a32=300/1000=0,3; a33=400/800=0,5.

Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат будет иметь вид

А =

Проверка продуктивности матрицы

Все элементы матрицы А неотрицательные, А≥0.

Для того чтобы система уравнений имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции. Известно, что для продуктивности матрицы А≥0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А) были положительными числами, строго меньше единицы. Кроме того, если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е-А) положительны и строго меньше единицы.

Суммы элементов каждого столбца матрицы А соответственно равны:

0,417 + 0,25 + 0 = 0,667;

0,1 + 0,5 + 0,3 = 0,9;

0,2 + 0 + 0,5 = 0,7.

Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение X=(Е-А)-1Y имеет смысл и вектор Y неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Xможно воспользоваться формулой X=(Е-А)-1Y.

Вычисление матрицы Е-А

Вычислим матрицу (Е-А):

E-A = -=

Вычисление обратной матрицы (Е-А)-1

Известно, что матрица В-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице В, если произведение В×В-1=Е (Е - единичная матрица).

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой:

Здесь [Bij] - матрица, полученная из элементов Bij, a Bij - алгебраические дополнения элементов ij матрицы.

Вij=(-1) i+jMij

где Мij - минор элемента Bij (минор - это такой определитель, который получается из матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент).

Вычислим значения алгебраических дополнений элементов матрицы (Е-А). Обозначим для простоты описания вычислений Е-А=В:

B11 = (-1)1+1= 0,25

B12 = (-1)1+2= 0,125

B13 = (-1)1+3= 0,075

B21 = (-1)2+1= 0,11

B22 = (-1)2+2= 0,292

B23 = (-1)2+3= 0,075

B31 = (-1)3+1= 0,1

B32 = (-1)3+2= 0,05

B33 = (-1)3+3= 0,267

Таким образом, [E-A] = [Bij] =

 

Вычисление транспонированной матрицы

Поменяв в матрице [Е-А] строки и столбцы местами, получаем:

[E-A]T = [Bij] T=

Вычисление определителя матрицы [Е-А]

Вычислим определитель, применив разложение по первой строке

det(Е-А)= 0,583×- (-0,1)×- (-0,2)× = 0,018

Вычисление матрицы прямых затрат S

По формуле S=(E-A)-1 ===

=

 

Определение вектора выпуска продукции X

Зная S и Y, вычислим Х по формуле:

Х = S×Y = ×

 

Отсюда

Х1 = 2,113 × 2000 + 0,93 × 2000 + 0,845 × 3000 = 8620;

Х2 = 1,056 × 2000 + 2,465 × 2000 + 0,423 × 3000 = 8310;

Х3 = 0,634 × 2000 + 1,479 × 2000 + 2,254 × 3000 = 10986.

Таким образом, вектор выпуска продукции в следующем периоде при заданном векторе конечной продукции

Yc = Х =

Очевидно, что с использованием матричных операций в Excel процедура вычислений в балансовой модели существенно упростится.

Реализация балансовой модели в электронной таблице Excel показана в табл. 4.2.2 (режим показа формул) и в табл. 4.2.3 (режим вычислений).

 

Таблица 4.2.2

  A B C D
БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Объём производства Потребление отраслей
Вычисление технологических коэффициентов =B3/A$3 =C3/A$4 =D3/A$5
=B4/A$3 =C4/A$4 =D4/A$5
=B5/A$3 =C5/A$4 =D5/A$5
Проверка продуктивности матрицы А
  =СУММ(B6:B8) =СУММ(C6:C8) =СУММ(D6:D8)
=ИЛИ(B10>=1;C10>=1;D10>=1) =ЕСЛИ(A11="ИСТИНА";"Решения нет"; "Матрица продуктивна")
Единичная матрица
Вычисление Е-А =B12-B6 =C12-C6 =D12-D6
=B13-B7 =C13-C7 =D13-D7
=B14-B8 =C14-C8 =D14-D8
Вычисление обратной матрицы =МОБР(B15:D17) =МОБР(B15:D17) =МОБР(B15:D17)
=МОБР(B15:D17) =МОБР(B15:D17) =МОБР(B15:D17)
=МОБР(B15:D17) =МОБР(B15:D17) =МОБР(B15:D17)
Спрос на будущий период План выпуска продукции =МУМНОЖ(B18:D20;B21:B23)
=МУМНОЖ(B18:D20;B21:B23)
=МУМНОЖ(B18:D20;B21:B23)

 

В строке 11 размещены формулы для проверки продуктивности матрицы технологических коэффициентов.

В ячейке А11 формула

=ИЛИ(B10>=l;C10>=l;D10>=l)

проверяет содержимое ячеек B10:D10. Если хотя бы в одной из этих ячеек значение больше единицы (т.е. сумма значений элементов хотя бы в одном столбце превышает единицу), то в ячейку А11 будет записано значение «ИСТИНА». В противном случае - значение «ЛОЖЬ»;

В ячейку С11 введена формула

=ЕСЛИ(А11="ИСТИНА";"Нет решения";"Матрица продуктивна")

Эта формула проверяет содержимое ячейки А11 и если сумма элементов хотя бы одного столбца превысила единицу, выводит сообщение "Нет решения", в противном случае - "Матрица продуктивна".

 

Таблица 4.2.3

  А В С D
БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Объём производства Потребление отраслей
Вычисление технологических коэффициентов 0,417 0,1 0,2
0,25 0,5
0,3 0,5
Проверка продуктивности матрицы А
  0,667 0,900 0,700
ЛОЖЬ Матрица продуктивна
Единичная матрица
Вычисление Е-А 0,583 -0,1 -0,2
-0,25 0,5
-0,3 0,5
Вычисление обратной матрицы 2,113 0,930 0,845
1,056 2,465 0,423
0,634 1,479 2,254
Спрос на будущий период План выпуска продукции 8619,72
8309,86
10985,92