Степень свободы параметра. Степень свободы у какого-либо параметра определяют числом опытов, по которым рассчитывают данный параметр, за вычетом количества констант, найденных по этим опытам независимо друг от друга. 1.5. Критическая область.
Область принятия гипотезы. Для проверки нулевой гипотеза используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Ее обозначают t если она распределена по закону Стюдента, X2 - по закону хи квадрат, F- по закону Фишера, G - по закону Кохрэна. Обозначим эту величину К Статистическим критерием или просто критерием называется случайная величина К, служащая для проверки нулевой гипотезы.
Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное наблюдаемое значение критерия. Наблюдаемым значением Кнабл называют значение критерия, вычисленное по выборкам После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое - при которых она принимается.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы областью допустимых значений называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области - гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы - гипотезу принимают.
Поскольку критерий К - одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют. Критическими точками Ккр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Различают, одностороннюю правостороннюю или левостороннюю и двустороннюю критические области. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К Ккр, где Ккр- положительное число.
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К Ккр, где Ккр- отрицательное число. Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую областью. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами K K1, K K2, где К2 К1. 1.6. Критерий Стьюдента t-критерий Стьюдента применяется, когда необходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое ожидание MХ генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению С или когда требуется построить доверительный интервал для MХ. Обнаружено, что случайная величина t при независимых наблюдениях распределена по закону Стьюдента, если Х распределена нормально где N- общее число наблюдений объем выборки, Х - среднее арифметическое случайной переменной Х SХ, SX- среднеквадратическое отклонение соответственно единичных значений Х и среднего арифметического Х. На рис.1.2 показаны кривые дифференциального закона распределения Фt для различных степеней свободы fN-1 , по которым вычисляют несмещенную оценку дисперсии S2 Х . При сравнительно небольших N кривая Фt более пологая, чем нормальный закон распределения ФХ. При N кривая Фt приближается к кривой нормированного нормального распределения.
Из рис.1.2 видно, что t-распределение симметрично относительно t0, поэтому в таблицах, где даны критические значения tкр tq, f для принятого уровня значимости q и имеющегося числа степеней свободы f, задаются только положительные tкр. Если при расчете t по формуле 1.3 при подстановке в нее вместо МX предполагаемого значения С окажется, что t tкр, то можно сделать вывод о том, что гипотеза МX С не противоречит результатам наблюдения при принятой уровне значимости q. В противном случае эта гипотеза отвергается с тем же уровнем значимости q. При этом остается возможность совершить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу с вероятностью q Рассмотрим использование t-критерия Стьюдента для построения доверительного интервала для математического ожидания.
При ttкр разность X - MХ в 1.3 равна половине ширины доверительного интервала т.е. Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью PI-q находится математическое ожидание MX , определяется следующими выражениями Поскольку математическое ожидание МX есть истинное, объективно существующее неслучайное значение, а границы интервала - случайные величины за счет наличия в них случайных величин X и SX, то правильно будет говорить о том, что доверительный интервал 1.5, 1.6 с вероятностью Р I - q накрывает М X. 1.7. Критерий Фишера Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону.
F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий причем в числителе ставится большая из двух дисперсий.
Расчетное F сравнивают с, которое находят из таблиц, для степеней свободы где N1 - число элементов выборки, по который вычислена. N2 - число элементов выборки, по которым получена оценка дисперсии. Если F Fкр, то принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий при принятом уровне значимости q. На рис. 1.3 показаны кривые распределения. Зачернена область критических значений F . На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить .точность приборов, инструментов или методов измерений.
Предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию Кривые F-распределения Фишера Рис.1.3 Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие несмещенных оценок дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки.
Например, если различие несмещенных оценок дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.
Если нулевая гипотеза будет отвергнута, т.е. генеральные дисперсии неодинаковы, то различие несмещенных оценок дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны.
Например, если различие результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалась значимым, то точность приборов различна. 1.8.