ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.
Теперь представим себе, что знакомый предприниматель П, занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам уступить по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у1 рублей за каждую единицу первого ресурса, у2 руб второго, у3 руб третьего.
Возникает вопрос при каких ценах у1, у2, у3 мы можем согласиться с предложением П. Величины у1, у2, у3 принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов.
Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие. Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 2 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 2 единицы третьего элементы первого столбца матрицы.
В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 2у1 4у2 2у3, т.е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы продукции первого вида. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше 2у1 4у2 2у3 36. Аналогично, для трех оставшихся видов продукции 3у1 2у2 8у332 4у1 7у310 у1 2у2 13 Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 103у1 148у2 158у3 рублей.
При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у1, у2, у3, чтобы эта сумма была как можно меньше.
Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.
Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования найти вектор двойственных оценок уу1, y2, y3 минимизирующий общую оценку всех ресурсов f 103у1 148у2 158у3 1 при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции 2у1 4у2 2у3 36 3у1 2у2 8у332 2 4у1 7у310 у1 2у2 13 причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными y, y , y . 3 Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х1, х2, х3, х4 и y1, y2, y3 пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий x 1 2у1 4у2 2у3 - 36 0 y1 2x1 3x2 4x3 x4 - 103 0 x 2 3у1 2у2 8у3 - 32 0 y2 4x1 2x2 2x4 - 148 0 x 3 4у1 7у3- 10 0 y3 2x1 8x2 7x3 - 158 0 . x 4 у1 2у2 - 13 0 Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х1 0, x2 0. Поэтому 2y1 4y2 2y3 - 36 0 3y1 2y2 8y3 - 32 0 Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у10, то приходим к системе уравнений 4y2 2y3 - 36 0 2y2 8y3 - 32 0 откуда следует у28, у32. Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у10 у28 у32, 4 причем общая оценка всех ресурсов равна 1500. Заметим, что решение 4 содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок.
Например, двойственная оценка третьего ресурса у32 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 2 единицы.