МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НМ

МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НМ. Условимся через обозначать множество всех упорядоченных наборов, состоящих из действительных чисел. Каждый такой набор будем обозначать одной буквой и в соответствии с удобной геометрической терминологии называть точкой множества. Число в наборе называют -й координатой точки. Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве расстояние между точками, по формуле 1 Функция, определяемая формулой 1, очевидно, обладает следующими свойствами a b c d. Последнее неравенство называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника есть частный случай неравенства Минковского.

Функцию, определнную на парах точек некоторого множества и обладающую свойствами a, b, c, d, называют метрикой или расстоянием в. Множество вместе с фиксированной в нм метрикой называют метрическим пространством.

Таким образом, мы превратили в метрическое пространство, наделив метрикой, заданной соотношением 1. Из соотношения 1 следует, что при 2 т. е. расстояние между точками мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек. Из 2, как и из 1, видно, что при множество совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.