ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В. Определение 1. При множество называется шаром с центром радиуса или также -окрестностью точки. Определение 2. Множество называется открытым в, если для любой точки найдтся шар такой, что. Пример 1. открытое множество в. Пример 2. пустое множество вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е. открытое множество в. Пример 3. Шар открытое множество в. Действительно, если, т. е то при будет, поскольку. Пример 4. Множество, т. е. совокупность точек, удалнных от фиксированной точки на расстояние больше чем является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.
Определение 3. Множество называется замкнутым в, если его дополнение в является множеством, открытым в. Пример 5. Множество, т. е. совокупность точек, удалнных от фиксированной точки не больше чем на, является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество называют замкнутым шаром с центром радиуса. СФЕРА . Сфера множество точек евклидова пространства, находящихся от некоторой точки центр сферы на постоянном расстоянии радиус сферы, т. е Сфера пара точек, сфера это окружность, сферу при иногда называют гиперсферой.
Объм сферы длина при, поверхность при вычисляется по формуле, в частности Уравнение сферы в декартовых прямоугольных координатах в имеет вид здесь координаты, соответственно, т. е. Сфера гиперквадрика, или поверхность второго порядка специального вида. Положение какой-либо точки в пространстве относительно сферы характеризуется степенью точки. Совокупность всех сфер, относительно которых данная точка имеет одинаковую степень, составляет сеть сферы.
Совокупность всех сфер, относительно которых точки некоторой прямой радикальной оси имеют одинаковую степень различную для различных точек, составляет пучок сферы.