НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ. С точки зрения дифференциальной геометрии, сфера риманово пространство, имеющее постоянную гауссову при и риманову при кривизну. Все геодезические линии сферы замкнуты и имеют постоянную длину это так называемые большие окружности, т. е. пересечения с двумерных плоскостей в, проходящих через е центр. Внешнегеометрические свойства все нормали пересекаются в одной точке, кривизна любого нормального сечения одна и та же и не зависит от точки, в которой оно рассматривается, в частности имеет постоянную среднюю кривизну, причм полная средняя кривизна сферы наименьшая среди выпуклых поверхностей одинаковой площади, все точки сферы омбилические.
Некоторые из таких свойств, принятые за основные, послужили отправной точкой для обобщения понятия сферы. Так, например, аффинная сфера определяется тем, что все е аффинные нормали пересекаются в одной точке псевдосфера поверхность в постоянной гауссовой кривизны но уже отрицательной одна из интерпретаций орисферы предельной сферы множество точек внутри, определяемое уравнением также второго порядка. На сферу дважды транзитивно действует ортогональная группа пространства 2 транзитивность означает, что для любых двух пар точек, с равными расстояниями, существует вращение элемент, переводящая одну пару в другую наконец, сфера есть однородное пространство. С точки зрения дифференциальной топологии, сфера замкнутое дифференцируемое многообразие, разделяющее на две области и являющееся их общей границей при этом ограниченная область, гомеоморфная это открытый шар, так, что сферу можно определить как его границу. Группы гомологий сферы, в частности не стягивается в точку сама по себе, т. е. тождественное отображение в себя существенно.
Группы гомотетий сферы , Например при. В общем случае для любых и группы не вычислены.
И здесь понятие сфера получает обобщение.
Например, дикая сфера топологическая сфера в, не ограничивающая области, гомеоморфной Милнора сфера экзотическая сфера многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное. Топологическое пространство, гомеоморфное сфере, называется топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что некоторое пространство является топологической сферой. Примеры. а Инвариантная топологическая характеристика сферы при не известна. О случае см. Одномерное многообразие.
Для того чтобы континуум был гомеоморфен сфере, необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нм такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей теорема Уайлдера. б Полное односвязное риманово пространство размерности кривизна которого для всех касательных двухмерных плоскостей ограничена, т. е. гомеоморфно теорема о сфере. в Односвязное замкнутое гладкое многообразие, целые гомологии которого совпадают с гомологиями при при неизвестно.
Если, то оно также и гомеоморфно, при гипотеза остатся, при диффеоморфизм не имеет места. Совершенно аналогично определяется сфера в метрическом пространстве. Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно или может быть пустым. В нормированном пространстве с нормой сферой называется множество это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая гиперповерхность, не всегда обладающая, например, гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной сферы.
Один из вариантов, применяющихся в топологии, тек называемая бесконечномерная сфера строгий индуктивный предел последовательности вложенных сфер другое определение, где бесконечномерное многообразие Штифеля. Для любого оказывается, что. Приложения понятия сфера чрезвычайно разнообразны. Например сферы участвуют в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, например, проективные пространства можно интерпретировать как сферу с отождествлнными диаметрально противоположными точками сфера с ручками и дырами используются в теории ручек.