Кубатурная формула типа Симпсона. Пусть сначала область интегрирования есть K-мерный пространственный параллелепипед рис. 5, стороны которого параллельны осям координат. Каждый из промежутков разобьм пополам точками, где. Всего таким образом, получим точек сетки.
Имеем 14 Находим K-мерный интеграл, вычисляя каждый внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона на соответствующем отрезке.
Проведм полностью все вычисления для случая K2 Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, получим или 15 Формулу 15 будем называть кубатурной формулой Симпсона.
Следовательно, 15 где сумма значений подынтегральной функции в вершинах прямоугольника, сумма значений в серединах сторон прямоугольника, значение функции в центре прямоугольника. Кратности этих значений обозначены на рис. 5. Если размеры пространственного параллелепипеда велики, то для увеличения точности кубатурной формулы область разбивают на систему параллелепипедов, к каждому из которых применяют кубатурную формулу Симпсона.
Опять рассмотрим случай K2. Положим, что стороны прямоугольника мы разделили соответственно на и равных частей в результате получилась относительно крупная сеть прямоугольников на рис. 6 вершины этих прямоугольников отмечены более крупными кружками. Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части. Вершины этой последней мелкой сети прямоугольников примем за узлы кубатурной формулы. Пусть и. Тогда сеть узлов будет иметь следующие координаты и Для сокращения введм обозначение Применяя формулу 15 к каждому из прямоугольников крупной сети, будем иметь рис.6 Отсюда, делая приведение подобных членов, окончательно находим 16 где коэффициенты являются соответствующими элементами матрицы Если область интегрирования произвольная, то строим параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат рис. 83. Рассмотрим вспомогательную функцию В таком случае, очевидно, имеем Последний интеграл приближнно может быть вычислен по общей кубатурной формуле 16. 2.5