Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач. Задача 5. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света Решение. Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.
Пусть ABx, ADy, тогда PABBCAD DMC Px2y0,5 x 1 SABBC x 8 Sxy x 8 2 Из 1,2 следует, что Sx-8 12x 3x Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при x -b2a, т.е. x 12 4, y 6 4. Ответ. Размеры окна 6 4,12 4. Задача 6. На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда н0 300 мс. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении, изменяется в зависимости от времени по закону s s0 н0 t at2 2, где s0 начальный путь, н0 начальная скорость, a ускорение, t время. В рассматриваемом случае s 0,v 300 мс, а-5 мс, значит,St 300t 5t2 . Функция St принимает наибольшее значение при S30 30030-5302 4500м Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м. Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики.
При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики. Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении. В частности, эти задачи помогают осознать, что функция, заданная аналитической формулой, может выражать зависимости между реальными величинами в самых различных явлениях и процессах Задача 7. Арка моста имеет форму параболы высота 4 м, наибольшая ширина 20 м. Составьте уравнение этой параболы.
Решение. Уравнение параболы в данном случае имеет вид y ax2 c. Для определения a и c подставим в этом уравнение координаты точек B и C рис. 1, т.е. 4 c c 4 c 4, 0 100a c 100a -4 a - 0,04 Парабола имеет вид y - 0,04x2 4. 4.