Применение методов дифференциального исчисления при решении прикладных задач. Задача 8. Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 м2. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала Решение.
Пусть стенки канала имеют длину x м а дно канала y м. Тогда xy4,5 y4,5x S L2xy SL2x4,5x Найдем производную. Так как S 0, и Lдлина канала-положительное число, то x1,5 Легко убедиться, что при данном x значение S минимально Ответ x1,5 м. y3 м. Задача 9. Какова должна быть скорость парохода, чтобы общая сумма расходов на один км. пути была наименьшей, если расходы на топливо за один час пропорциональна квадрату скорости.
Решение. Расходы на 1км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на топливо и других расходов содержание команды, амортизация. Ясно, что чем быстрее движется пароход, тем больше расход топлива. Остальные расходы от скорости движения не зависят. Обозначим через S-сумму расходов в час, V- скорость судна Расходы на 1км выразится формулой SV По условию имеем SKV2b, где K- коэффициент пропорциональности, b- расходы, кроме расходов на топливо. YSV YKV2bVKVbV Надо найти значение V, при котором функция YKVbV имеет наименьшее значение.
YKbV2 Y0 VbV Таким образом общая сумма расходов на 1 км. пути будет наименьшей при VbV. Значение коэффициентов b и K определяются из опыта эксплуатации парохода. Задача 10. Над центром круглого стола радиусом r висит лампа. На какой высоте h следует повесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность Из физики известна формула Eksinh2r2 sinhh2r2 Для упрощения решения задачи вместо функции Eksinh2r2khh2r232 возьмем функцию T1k2E2h2h2r2, для упрощения формулы заменим h2z тогда Tzzr23 T zr23-z3zr22 zr26zr2-3r zr24 T0 r2-2r0 zr22 hr2 Ответ. Освещенность максимальная, если hr2 Задача 11. Нахождение гидравлически наиболее выгодного трапециидального сечения русла. Из всех сечений русла, представляющих собою равнобедренную трапецию, имеющих одинаковую площадь и уклон i, найти то, которое будет пропускать наибольший расход Q. Пояснение 1. Расход Q это количество воды, проходящее через поперечное сечение русла в единицу времени 2. Расход Q определяется по формуле Qcrj -площадьсечения c-коэффициент r-гидравлический радиус i-уклон дна русла 3. Гидравлический радиус есть отношение площади сечения к смоченному периметру r 4. Смоченный периметр есть линия соприкосновения жидкости с поверхностью канала. 5. Крутизна 1m откоса есть отношение высоты откоса к заложению АО. Решение.
Расход Q зависит от r, и он будет наибольшим при rmax, что будет тогда, когдаmin Крутизна откоса 1m hАО, то АОhm Тогда 12b2mhbhbmhh b2h1m2т.е. h-mh2h1m2 h- h2-m21m2 h-bmhh-m21m2 h-bh21m2-m h0 при bh21m2-m h 0 при hb21m2-m Ответ. имеет наименьшее значение при условии hb21m2-m