Критерий Кохрэна. G -критерий Kохрэна применяется для оценки однородности несмещенных оценок дисперсий, вычисленных по одинаковому числу N наблюдений.
При этом генеральные совокупности должны быть распределены нормально. Критерий формируется как отношение максимальной из сравниваемых оценок дисперсий к сумме всех K дисперсий Если G GкрGq, f1,f2 , то оценки дисперсий признаются однородными или, другими словами, различаются незначимо.
В этом случае с уровнем значимости q ммнимается нулевая гипотеза, состоящая в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой. Числа степеней свободы числителя f1 и знаменателя f2 определяются условиями Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности оценок дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднее арифметическое несмещенных оценок дисперсий 1.9. Критерий Пирсона Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида где MX, соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины. согласованности изучаемого распределения с нормальным Для проверки гипотезы о соответствии, экспериментального закона распределения случайной величины нормальному применяют критерий Пирсона или, как его иначе называют, критерий X2 хи-квадрат, так как принятие и отклонение гипотезы основаны на X2 -распределении.
Использование критерия Пирсона основано на сравнении эмпирических наблюдаемых и теоретических вычисленных в предположении нормального распределения частот.
Обычно и различны. Возможно, что расхождение случайно незначимо и объясняется малым числом наблюдений, способом их группировки Или другими причинами. Возможно, что расхождение частот неслучайно значимо и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены, исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона отвечает на поставленный ранее вопрос.
Однако, как и любой статистический критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает при принятом уровне значимости q ее согласие или несогласие с данными наблюдений. Пусть по выборке объема получено эмпирическое распределение. Допустим, в предположении нормального распределения генеральной совокупности, вычислены теоретические частоты. При уровне значимости q требуется проверить нулевую гипотезу генеральная совокупность распределена нормально.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина или где К- число интервалов вариант. Эта величина случайная, так как в различая опытах она принимает различные, заранее неизвестные значения. Чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше значение критерия 1.9 и, следовательно, он в известной мере характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Возведением в квадрат разностей частот устраняется возможность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей.
При неограниченном возрастании объема выборки закон распределения случайной величины 1.9, независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения X2 с f степенями свободы. Поэтому случайная величина 1.9 обозначена X2, а сам критерий называют критерием согласия хи квадрат. Число степеней свободы находят по равенству fK-1-l где l- число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки, а l вызвана тем, что имеется дополнительное ограничение т.е Теоретическое число элементов совокупности должно быть равно фактическому числу элементов.
Поскольку в данном случае, предполагаемое распределение является нормальным, nо оценивают два параметра математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, поэтому l2 , и число степеней свободы Если расчетное наблюдаемое значение критерия 1.9.оказалось меньше критического которое находят по таблицам, для соответствующего уровня значимости q и числа степеней свободы, т.е. если то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о нормальности распределения.
В противном случае при нулевая гипотеза отвергается. При проверке гипотезы о нормальности распределения существует правило, согласно которому общее количество элементов выборки должно быть а число элементов, попавших в любой i-и интервал т.е. значения эмпирических частот, должно быть Если в крайние интервалы попадает меньшее число элементов, то они объединяются с соседними интервалами.
Внутренние интервалы объединять запрещается. Общее число интервалов К , оставшихся после объединения, должно удовлетворять условию 1.15 Иначе число степеней, свободы f 1.11 окажется равным нулю, и гипотезу невозможно будет проверить. В целях контроля вычислений формулу 1.9 целесообразно преобразовать к виду В табл.1.4 приведен пример расчета наблюдаемого значения критерия по известным эмпирическим и теоретическим частотам. Если, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Т.е расхождение эмпирических и теоретических частот незначимо. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности. 2.